Quattro di tre.

[Bruno]

Se $\, r \,$ ed $\, s \,$ sono due numeri pari, allora $\;r^2 + s^2 + (\frac{1}{2}\cdot r \cdot s)^2\;$ è sempre uguale a una somma di quattro quadrati.

Per esempio: $\,6^2 + 8^2 + (\frac{1}{2}\cdot 6 \cdot {8})^2\,=\, 676 \, = \, 19^2+13^2+11^2+5^2$.

[Info]

ecco come funziona....

$t=\frac{r}2\\v=\frac{s}2\\$

basta riscrivere l'equazione con t e v

$4t^2 + 4v^2 + (2\cdot t \cdot v)^2\\(4t+t\cdot v^2)\cdot t+(4v+v\cdot t^2)\cdot v$

svolgendo si trovano i 4 numeri....

ecco per esempio 6 ed 8

$(12+3\cdot 4^2)\cdot 3+(16+4\cdot 3^2)\cdot 4\\36+48\cdot 3+64+36\cdot 4\\36+144+64+144$

tutti e 4 quadrati

[franco]

ecco come funziona....
$t=\frac{r}2\\v=\frac{s}2\\$
basta riscrivere l'equazione con t e v
$4t^2 + 4v^2 + (2\cdot t \cdot v)^2\\(4t+t\cdot v^2)\cdot t+(4v+v\cdot t^2)\cdot v$
svolgendo si trovano i 4 numeri....
ecco per esempio 6 ed 8
$(12+3\cdot 4^2)\cdot 3+(16+4\cdot 3^2)\cdot 4\\36+48\cdot 3+64+36\cdot 4\\36+144+64+144$
tutti e 4 quadrati

Qualcosa non torna:
36+144+64+144=388 e non 676

[Info]

ho perso un valore Franco.... quel 2^2 diventa 4 quindi 3+1

$4t^2 + 4v^2 + (2\cdot t \cdot v)^2$

ripetendo gli stessi passaggi non trovo piú i 4 quadrati

[Bruno]

In realtà, Info, le due espressioni che hai scritto applicando le tue variabili al trinomio non sono equivalenti, esse infatti differiscono per un $\,$ 2·(t·v)² $\,$ che cambia il gioco e quindi le conclusioni.

Non ti preoccupare, prenditi il tempo che ti serve per riesaminare il tuo approccio

Naturalmente non si tratta di una questione ovvia, ma non è impossibile spiegarla con relativa semplicità. Cambiare il punto di vista può permettere di trovare una via più percorribile.

[Info]

eh si..... siccome r ed s sono entrambi pari posso scrivere l'equazione con t e v che altrimenti non sarebbero interi

[vittorio]

Dato $n=r^2+s^2+(r\cdot s/2)^2$, poiché r ed s devono essere pari pongo $r=2p$ ed $s=2q$ ottenendo $n=4\cdot p^2+4\cdot q^2 + 4\cdot p^2\cdot q^2$.
Quindi scrivo: $n=(1^2+1^2+1^2+1^2)\cdot (p^2+q^2+(p\cdot q)^2+0^2)$, cioè scrivo n come prodotto di due somme di quattro quadrati ciascuna.
Utilizzando l'uguaglianza di Eulero:
$( a^2+b^2+c^2+d^2 )\cdot( e^2+f^2+g^2+h^2 )=(a\cdot e-b\cdot f-c\cdot g-d\cdot h)^2+( a\cdot f+b\cdot e+c\cdot h-d\cdot g )^2+( a\cdot g-b\cdot h+c\cdot e+d\cdot f )^2+( a\cdot h+b\cdot g-c\cdot f+d\cdot e )^2$
e sostituendo ottengo:
$n=( p\cdot q-p-q )^2+( p\cdot q+p-q )^2+( p\cdot q+p+q )^2+( p\cdot q-p+q )^2$
che esprime n come somma di quattro quadrati.
Ciao
Vittorio

P.S. Spero di non aver sbagliato nello scrivere la formula di Eulero che comunque si trova su Wikipedia.
Per la cronaca 676 si può scrivere come somma di quattro quadrati in 21 modi diversi.

[Bruno]

Fantastico Vittorio

Dunque, la somma di tre quadrati pari, comunque scelti, può sempre essere scritta come somma di quattro quadrati.
Infatti, ponendo $\,r\,$ al posto di $\,p q\,$ nell'ultima tua espressione, si ottiene la somma dei quadrati di tre generici numeri pari.


Cosa ne dici della sequenza del 26 agosto?


PS - Non hai sbagliato a scrivere l' identità dei quattro quadrati di Eulero