BASE CINQUE FORUM

Fibo ha una tovaglia a forma di pentagono
regolare. In un primo momento, ha tolto
un triangolo a partire da ogni lato del pentagono,
in modo da far apparire sei pentagoni
regolari più piccoli perfettamente attaccati
per un lato (prima figura). Poi
ha ricominciato con la figura così ottenuta
e ha ottenuto la tovaglia rappresentata
sotto. Dopo la quinta tappa, Fibo
ottiene una tovaglia la cui area è uguale a
1 m^2.
Quale era l'area della tovaglia di partenza, espressa in cm^2 e
arrotondata al cm^2 più vicino ?

Mi sembra proprio un bel problema aureo
Ieri notte ho trovato una soluzione che però ho solo scritto disordinatamente su un foglio.
Ci vorrà del tempo per trascrivere le formule in TEX, specie considerando che ho a disposizione solo lo smartphone.

Facciamo così, ti mando un messaggio personale con la soluzione che ho trovato; se mi dici che è giusta mi metto a scriverla in bella copia, altrimenti lascio perdere

ciao

Franco

Ho trovato uno scampolo di tempo per considerare questa proposta di MB.enigmi, ma in ciò che segue bisognerà forse tener conto di temperature infocate, disidratazione, ipotensione etc.
Nella figura allegata, $\,d\,$ è naturalmente la misura del lato del pentagono regolare $\,S$. $\;$ Le altre quote si ottengono senza difficoltà utilizzando alcune note proprietà dei pentagoni regolari. $\;$ Il simbolo $\,\phi\,$ indica il rapporto aureo $\,{\large \frac{1+\sqrt 5}{2}}\,$.
Sappiamo inoltre (almeno dalle scuole secondarie di primo grado, se non ricordo male) che l'area di un pentagono regolare può essere calcolata moltiplicando il quadrato della misura del lato per un determinato valore numerico $\,r\,$ (per ora ci basta sapere che esiste ed è una costante).

Poiché nella tovaglia tagliuzzata possiamo contare $\,36\,$ pentagoni come $\,S$, per soddisfare la richiesta di MB.enigmi (convertendo i metri quadrati in centimetri quadrati), dobbiamo avere: $\;(d^2\cdot r)\cdot36\,=\,10\,000 \; cm^2\;$, vale a dire: $\;d^2\cdot r\,=\,{\large \frac{2500}{9}} \; cm^2$, $\;$ e questa è l'area del pentagono $\,S$.

Il rapporto fra l'area del pentagono $\,S\,$ e l'area originaria della tovaglia è pari a $\;{\large \frac{d^2\cdot r}{d^2\cdot (3\cdot \phi+2)^2\cdot r}} = {\large \frac{1}{(3\cdot \phi+2)^2}}\,$, $\;$ ciò significa che l'area della tovaglia era inizialmente di $\;{\large \frac{2500}{9}}\cdot (3\cdot \phi+2)^2 \,\simeq\, 13\,050 \; cm^2$.

Così almeno mi pare

Dopo un confronto con Marco (MB.enigmi), ho rivisto la mia risposta e mi sono accorto che ho trascurato un passaggio: mi sono fermato alla seconda tappa, quella illustrata dal secondo disegno, anziché trattarne cinque... In effetti, lo straordinario caldo della scorsa estate mi aveva un po' narcotizzato il cervello
Pertanto il mio risultato non risponde al problema.
Tuttavia, il ragionamento che ho fatto può essere applicato sino a includere le rimanenti tre tappe (ottenendo $\,6^5\,$ pentagonini e non $\,36$) e il risultato diventerebbe allora $\;{\large \frac{625}{486}}\cdot (55\cdot \phi+34)^2 \,\simeq\, 19\,453 \; cm^2$.
Anche questo valore, però, non andrebbe bene, per quanto sia plausibile, perché Marco ha come soluzione 195 cm². Ciò non è possibile se consideriamo che, dopo aver tagliuzzato la tovaglia per cinque volte, si dovrebbe ottenere una figura avente l'area uguale a 1 m². Così penso che in realtà non si tratti di 1 m², ma di 1 dm² (se vogliamo accontentare Marco), e con questa correzione nel testo la risposta cercata diventa 195 cm²... i quali corrispondono più o meno a un fazzoletto, non certo a una tovaglia

Ottimo, grazie Bruno!

La risposta è 19453 cm² .


Dimostrazione (scusate se non rifinisco il messaggio, che effettivamente risulta brutto)


Chiamo P0 sia il pentagono iniziale, sia la sua area, dunque il dato da trovare.
Chiamo T0 sia uno dei triangolini che ritaglio da P0, sia la sua area, quindi al primo passaggio l'area
Chiamo F0 sia la figura iniziale (cioè ancora P0), sia la sua area.
Analogamente chiamo Pi, Ti e Fi (con i naturale) i “pentagoni”, i triangoli e le figure intere che ottengo, e le loro aree (spiegato malissimo, ma voi siete intelligenti …)

Quindi si ha che F0 ha area P0.
F1 ha area P0-5·T0 (che si misura, per esempio, in cm²).
Anche se sembra inutile, osservo che l'area di F1 è F0·((P0-5·T0)/F0) (il primo fattore si misura in cm², mentre il secondo è un numero puro);
ma non è inutile, perché il rapporto R=(P0-5·T0)/F0 non solo è il rapporto F1/F0, ma è il rapporto fra un qualunque F(i+1) e il precedente Fi;
infatti, se interpreto Fi come unione di pentagonini che non hanno parti interne comuni, si ha che il successivo f(i+1) è l'unione di questi pentagonini a cui sono stati sottratti dei triangolini Ti, in modo che l'area di ogni “pentagonino senza triangolini” è il prodotto fra l'area di un pentagonino ed R, così che risulta che l'area di F(i+1) si ottiene moltiplicando l'area di Fi per R.
Ne segue che (parlando di aree) F5 = F4·R = F3·R² = F2·R³ = F1·R^4 = F0·R^5, ed infine la risposta:

F0 = F5/R^5 = 10^4 cm²/R^5 (arrotondata al valore intero più vicino).



Resta da trovare il rapporto R, ma visto che si chiede di approssimare l'area (in cm²) all'intero più vicino, mi permetto di usare le funzioni goniometriche nel calcolo dell'area.


Intanto qualche nozione sugli angoli.
Osserviamo la prima figura, cioè F1, quella trovata togliendo 5 triangolini dal pentagono iniziale (i triangolini T0).
Chiamato a l'angolo del triangolino isoscele (quello più piccolo) si ha che gli angoli alla base sono 2·a e che gli angoli interni del pentagono sono 3a, dove a = 36°.

Considerando che il lato del pentagono sia 1 (1m, 1 cm, … o anche solo 1) e facendo un po' di calcoli, si ottiene (salvo errori …) che la base di T0 è (5^0,5 – 2) (“radice di 5 meno 2).
Quindi l'area di T0 si può ottenere come il semiprodotto della base per l'altezza, dove l'altezza è il prodotto della semibase per la tangente dell'angolo alla base (ho considerato il triangolo rettangolo ottenuto dividendo T0 in due triangoli rettangoli …):
T0 = 0,5·(5^0,5 – 2)·(0,5(5^0,5 – 2)·tg (2a)) = (2,25-5^0,5)·tg (72°) .

Per il pentagono, si può considerare che sia scomponibile nei 5 triangoli che hanno il vertice nel suo centro, e come base i 5 lati.
Quindi la base è 1 (1 m, …) e l'altezza la posso trovare, in analogia a sopra: 0,5·tg (3a/2), per cui si ha:
P0 = 5·(0,5·1·(0,5·tg 54°)) = 1,25·tg 54° .
Ne segue che f1 = P0-5·T0 = 1,25·tg 54° - 5·((2,25-5^0,5)·tg (72°))

E infine R = F1/F0 = F1/P0 = (1,25·tg 54° - 5·((2,25-5^0,5)·tg (72°))) / (1,25·tg 54°) =
R = 0.87538820250189273232 .

Il valore richiesto si trova come detto sopra:

F0 = 10^4 cm²/R^5 = 19453.44641704351677968439 cm² = 19453 cm² .

Ottimo, Gaspero, il tuo risultato è corretto anche per me.

Nei giorni scorsi ho cercato in rete qualche traccia di questo problema, trovando risoluzioni che conducono a 195 cm², come sosteneva Marco. Probabilmente il testo originale (in francese) non è stato tradotto correttamente e/o sono state un po' confuse le unità di misura.