Alcune sequenze.

[Bruno]

Partiamo da 22 ed eseguiamo questo calcolo:$\;$ 22·4+2° = 89.
Consideriamo ora 89:$\;$ 89·4+2¹ = 358.
Passiamo a 358:$\;$ 358·4+2² = 1436.
E poi ancora:$\;$ 1436·4+2³ = 5752.

Così facendo, otteniamo la sequenza:$\;$ 22, 89, 358, 1436, 5752, 23024, 92128, 368576, 1474432, 5897984, ...

Moltiplicando 22 per 40 (880), generiamo questa ulteriore sequenza:$\;$ 880, 88011, 8801111, 880111111, 88011111111, ...
Operiamo nello stesso modo con 89 (89·40 = 3560) e scriviamo:$\;$ 3560, 356011, 35601111, 3560111111, 356011111111, ...
Quindi passiamo a 358 (358·40 = 14320):$\;$ 14320, 1432011, 143201111, 14320111111, 1432011111111, ...

Gli infiniti termini delle ultime tre sequenze create godono tutti di una stessa proprietà. Qual è?

[Pasquale]

A prima vista direi che, a partire da $N_2$, ogni termine $N_i = 100 \cdot N_{i-1}+11$, talché le prime cifre di ogni $N_i$ sono le stesse di $N_1$, seguite da una quantità di cifre 1 pari a 2i-2.
Per cui, potremmo più genericamente dire che dato $N_1$:

$N_i = N_1 \cdot 10^{2i-2}+(10^{2i-2}-1)/9$

Non so se è questo che intendevi.

[Bruno]

Pasquale, sì, possiamo costruire quei numeri nel modo che hai indicato. Ma il loro particolare aspetto grafico, diciamo così, ci offre già una via
soddisfacente per scriverne quanti ne vogliamo.

I termini delle tre sequenze (alle quali potremmo aggiungerne infinite altre, come abbiamo visto) appartengono a una ben più ampia famiglia
di numeri che condividono la stessa proprietà e tuttavia, nel loro insieme, essi appaiono abbastanza amorfi.

Faccio un esempio.

La sequenza $\,$ ..., 46800, 47815, 48107, 49136, 49432, 50475, 50775, 51832, ... $\,$è un segmento della più ampia famiglia di numeri di cui dicevo
prima. Anche in questo caso, scegliendo di partire da 48107, potremmo scrivere $\,$ 4810711, 481071111, 48107111111, ... $\,$ e affermare che pure
tali valori presentano la proprietà che dobbiamo ancora scoprire.
Determinare $\,$ 46800, 47815, 48107 $\,$ e tutti quelli che precedono e seguono, però, non è così facile come trovare $\,$ 880, 3560, 14320 $\;$etc., calcolati
con relativa semplicità passando attraverso le potenze di 2 e una moltiplicazione finale per 40.

Nello studio delle sequenze, trovare la regola generale per individuare tutti i termini è senza dubbio importante, ma a volte limitarsi a
esaminare una sottosequenza aiuta a far emergere dei patterns, delle configurazioni, interessanti.

È un po' come seguire i movimenti delle linee in un tronco sezionato: sicuramente una singola linea non rappresenta tutto il tronco, comunque
può raccontarci qualcosa su come esso si è strutturato

[Bruno]

Volendo, anche la formula di Pasquale ci può permettere di indovinare la proprietà dei numeri visti sopra.
Hanno a che fare con i numeri quadrati

[Pasquale]

Non mi è chiaro, ma guardando l'esempio 46800, 47815, 48107, 49136, 49432, 50475, 50775, 51832, ....l'unica cosa che ho notato è che trattasi di numeri compresi fra due quadrati le cui radici distano fra loro di 2,1,2,1,2,1...unità (217,219,220,222,223,225,226...).
Sarebbe accaduto lo stesso se la sequenza fosse stata: 46800, 47814, 48110, 49135, 49433, 50471, 50776, 51830. Vado a tentoni.
Questi numeri sono poi desinati ad essere seguiti dalle varie coppie 11?

[Bruno]

Fochino.

Però i termini della tua sequenza, dopo il primo, non presentano quella proprietà.

Questi numeri sono poi desinati ad essere seguiti dalle varie coppie 11?

Sì

Aggiungendo a piacere delle coppie di 1 si ottengono numeri su cui possiamo "operare" in un certo modo per mettere in luce la loro proprietà.




PS. Nella tua firma, Pasquale, non si vede più la manina che saluta Te ne sei accorto?

[Pasquale]

Strano, chi s'è fregato la manina? Appena ho tempo devo dare uno sguardo in profondità. Io non l'ho cancellata...vedremo. Grazie.

Per il quesito, direi che più di fuochino mi scotterei.

[Bruno]

No che non ti scotti, tu sei ignifugo

Pasquale, le coppie di $\;1\;$ sono un po' le protagoniste delle cose scritte finora, direi.

Tu come collegheresti gli interi formati soltanto da un numero pari di $\;1\;$ a dei quadrati perfetti?

[Pasquale]

Boh, che dire?

Noto che i numeri del tipo $\text N=\frac{10^{2k}-1}{9} con k>0$, formati da una quantità pari di 1, sono compresi fra due quadrati $\text A^2 ed (A+1)^2, con A=\frac{10^k-1}{3}$

A titolo di esempio (con Decimal Basic, inserire la doppia precisione):

FOR k=1 TO 10
LET a=(10^k-1)/3
LET n=(10^(2*k)-1)/9
PRINT a^2;n;(a+1)^2
NEXT K
END

Si ricava al contrario che, dati $\text A=\frac{10^k-1}{3} e B=\frac{10^{2k}-3\cdot 10^k+2}{9}$, A+B è uguale a tanti 1 quanti 2k

FOR k=1 TO 10
LET a=(10^k-1)/3
LET b=(10^(2*k)-3*10^k+2)/9
PRINT a+b
NEXT K
END

[Bruno]

Ok. Guarda il tuo N, Pasquale: con due semplici operazioni ci porta dritti dritti verso un certo tipo di quadrati, e quindi...

[vittorio]

Prima sequenza.
Si tratta di una successione ricorsiva lineare con primo termine $S_1=22$, $S_2=4\cdot S_1+1$, $S_{n+1}=2^n+4\cdot S_n$.
Quest'ultima si può ridurre a $S_{n+2}=6\cdot S_{n+1}-8\cdot S_n$. L'equazione caratteristica è $t^2=6t-8$ che ha radici 4 e 2 da cui la soluzione generale $S_n=x\cdot 4^n + y\cdot 2^n$ con x e y da determinarsi in base ai valori iniziali $S_1$ e $S_2$.
Sostituendo si ottiene $S_n=(2S_1 +1)\cdot 2^{2n-3} - 2^{n-2}$
Anche le ulteriori sequenze possono ricondursi a successioni lineari ricorsive.
Sia $T_1= 40\cdot k$ con k termine generico della successione S. Allora $T_2=100\cdot T_1 + d$, con d=11, $T_{n+1}=100\cdot T_n +d$.
Si ottiene $T_{n+2}=101\cdot T^{n+1} - 100\cdot T_n$ di equazione caratteristica $t^2=101t-100$ con radici 1 e 100 e soluzione generale $T_n=x\cdot 10^{2n}+y$. Tenendo conto dei termini iniziali $T_1$ e$T_2$ si ricava $T_n = (d+99T_1)\cdot 10^{2(n-1)}/99 - d/99$.

Nel caso specifico d=11 e $T_1$ è un termine generico di deponente p della successione S quindi sostituendo e riducendo si ottiene

$T_n = (45\cdot 2^p -1)^2 \cdot 10^{2(n-1)}/9 - 1/9$


Si ha quindi che "sommando 1/9 ad un qualsiasi termine di una qualsiasi successione T si ottiene un quadrato perfetto".

Vittorio

[Bruno]

Ottimo, Vittorio

Nella tua conclusione, però, dovremmo "moltiplicare per 9 e sommare 1", dico bene?


La costruibilità grafica di particolari termini della sequenza "madre" può esprimersi in maniera diversa, naturalmente.
Per esempio, così:

10892200, 110889222000, 1110888922220000, 11110888892222200000, 111110888889222222000000, 1111110888888922222220000000, ...

la cui forma chiusa è $\large \; \frac{10^n \cdot (10^n - 1) \cdot (10^{2n} - 10^n + 2)}{9}$.

[Pasquale]

Troppo complicato per me. La conclusione di Vittorio:

$T_n = (45\cdot 2^p -1)^2 \cdot 10^{2(n-1)}/9 - 1/9 +1/9 = (45\cdot 2^p -1)^2 \cdot 10^{2(n-1)}/9$

produce egualmente un quadrato, mi pare.

[Bruno]

Sì, ma non è intero.

Applicando la regola finalmente trovata, cioè moltiplicando per 9 e aggiungendo 1, si ottiene invece un quadrato intero.

Troppo complicato per me.

Pasquale, nella tua lunga carriera di matematico ricreativo hai affrontato (e brillantemente) cose ben più complicate

[Pasquale]

Ok, Bruno. Devo però aggiungere che matematico non fui e non sono; poi, secondo i momenti e le varie antiche reminiscenze, che vanno sempre più a scemare, una cosa riesce oppure no. Comunque, meno male che c'è Base5.