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En passant.

Inviato: mer mar 08, 2017 12:11 pm
da Bruno
Supponete di ripetere all'infinito la sequenza $\;1,\, 10,\, 1,\, 2,\, 5,\, 2,\, 5,\, 2,\, 1,\, 10,\,$ considerando $\,t_{0}=1$, $\,t_{1}=10\;$ e così via.

Quanto vale $\,\large t_{213}\,$?

E $\,\large t_{997}\,$? $\;$ Che cosa trovate subito dopo ?

Naturalmente, ciò che conta è fornire una regola, la più semplice e pratica che riuscite a immaginare, ma senza pc ;)

Re: En passant.

Inviato: mer mar 08, 2017 7:20 pm
da Pasquale
In prima battuta direi che se t_0=1, t_9=10, t_{10}=1, ecc., tenendo presente la sequenza \text 1, 10, 1, 2, 5, 2, 5, 2, 1, 10, per t_{213} farei \text 213 Mod 10 = 3 corrispondente al 2 del quarto elemento della sequenza, mentre per t_{997} farei \text 997 Mod 10 = 7, corrispondente al 2 dell'ottavo elemento della sequenza.
Così dicasi per ogni t, estraendone sempre il relativo modulo 10 e tenendo presente che la tabella inizia da t_0 e non da t_1.
Diciamo più semplicemente che è sufficiente contare nella tabella tanti elementi quanti quelli indicati dall'ultima cifra del t, aumentata di un'unità.
Oppure non ho compreso bene il quesito.

Re: En passant.

Inviato: gio mar 09, 2017 9:26 am
da Bruno
Proprio così, è sufficiente utilizzare l'ultima cifra dell'indice per individuare il corrispondente valore, bravo Pasquale :D

Un'interpretazione di tali numeri può essere questa: la sequenza elenca il massimo comun divisore di $\;\small{n^2-1}\;$ e $\;\small{n^2+9}\;$ per $\; \small{n \geq 0}$. È comunque probabile che siano altri metodi per generarla.

Le sequenze periodiche ammettono una rappresentazione molto particolare, descritta da Paolo P. Lava e Giorgio Balzarotti in un libro che trovo pregevole, forse l'unico testo in italiano che si occupa, in modo serio, documentato e stimolante, di sequenze di numeri interi: si tratta appunto di Sequenze di numeri interi, edito da Hoepli qualche anno fa.
Conosco personalmente Paolo, è un amico, egli collabora proficuamente con la OEIS di Neil Sloane da oltre dieci anni.

Nel settimo capitolo gli autori espongono un metodo per assegnare al generico termine $\;a_n\;$ di una sequenza periodica, con lunghezza del periodo $\;r$, una formula modulare del seguente tipo:
$\small{k_0\cdot (n \mod r)\, +\, k_1\cdot ((n+1) \mod r)\, +\, k_2\cdot ((n+2) \mod r)\; + \,...\,+\; k_{r-2}\cdot((n+r-2) \mod r)\, + \,k_{r-1}\cdot((n+r-1) \mod r)}\;$,
dove i coefficienti $\;k_i\;$ dipendono dai termini della porzione di sequenza che si ripete.
Questa rappresentazione è unica e la sua determinazione passa attraverso la risoluzione di $\;r\;$ equazioni lineari con $\;r\;$ incognite.
Ho chiesto a Paolo di individuare la formula modulare relativa alla sequenza $\;\small{1,\, 10,\, 1,\, 2,\, 5,\, 2,\, 5,\, 2,\, 1,\, 10,\,1,\, 10,\, 1,\, 2,\, 5,\, 2,\, 5,\, 2,\,...}\;$ ed ecco cosa è saltato fuori:
$a_n \; = \; \large{\frac{1} {75}}\cdot \small{(74\cdot(n \mod 10) - 61\cdot((n+1) \mod 10) + 14\cdot((n+2) \mod 10) + 29\cdot((n+3) \mod 10) - 16\cdot((n+4) \mod 10) +}$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\small{29\cdot((n+5) \mod 10) - 16\cdot((n+6) \mod 10) - ((n+7) \mod 10) + 74\cdot((n+8) \mod 10) - 61\cdot((n+9) \mod 10))}\;$ :D

Penso che si tratti di un'interessante proprietà matematica delle sequenze periodiche ed è sicuramente poco conosciuta, anche se non è sempre pratica, direi, sul piano operativo.