Quanto fa i^i?

[Gianfranco]

Domandine sulla i (unità immaginaria)
Quanto fa...

1) $\large i^2$

2) $\large 2^i$

3) $\large i^i$

4) $\large (i^i)^i$

5) $\large i^{-i}$

6) $\large \sqr{i}$

Maxima non sa rispondere (mi sembra), WolframAlpha invece sì (https://www.wolframalpha.com/).

[Info]

beh, iniziamo a ricordare che
$i=\sqr{-1}$

[MB.enigmi]

Scusate, qualcuno può spiegarmi il senso di i^i e quindi qual è la risposta corretta?

[Bruno]

$i^{\;i}\;$ è un numero reale (a differenza del precedente e del successivo) e si può dimostrare, anche con una nota formula di Eulero, che esso equivale a $\;\large {e^{\;-\frac {\pi}{2}}}$.
Di conseguenza, $\;\large {e^{\;\frac{\pi}{2}}}\;$ equivale a $\;i^{\;-i}\;$.

[MB.enigmi]

Ora è chiaro, grazie.

[peppe]

Secondo Google
i elevato alla i = 0,947158998 + 0,32076445 i
Per approfondire la segnalazione di Bruno, leggi qui:
https://it.wikipedia.org/wiki/Unit%C3%A0_immaginaria
l'argomento : i e la formula di Eulero
e qui:
https://it.wikipedia.org/wiki/Formula_di_Eulero
Anche se personalmente preferisco le spiegazioni del sito "Ripasso di matematica":
http://www.ripmat.it/mate/b/be/bebea.html
http://www.ripmat.it/mate/b/be/bebec.html

Anche nel forum di Matematicamente.it esiste una analoga discussione:
https://www.matematicamente.it/forum/nu ... t1062.html

Nell'archivio delle domande di YAHOO! allo stesso argomento,
https://it.answers.yahoo.com/question/i ... 117AALVOQw
viene fornita questa risposta:
"L'elevamento a potenza (x^y) di numeri complessi non è una funzione definita. Ossia non lo puoi fare. ecc.ecc.
+++
Per quanto riguarda l'argomento numeri complessi in generale, trovo interessante questo sito:
http://www.sandroronca.it/matematica/co ... plex0.html

N.B. per meglio visualizzare le formule del sito, si consiglia di utilizzare il Browser Firefox
perché con I.E. la formattazione è quasi illeggibile.

Anche su Youmath ci si può sbizzarrire:
http://www.youmath.it/lezioni/analisi-m ... lessi.html
Però questo sito ha un grave difetto : non consente di fare il "copia-incolla".
+++
Su Vialattea.net alcune risposte a domande sull'applicazione dei numeri complessi:
http://www.vialattea.net/esperti/cerca. ... immaginari
----------------
Per chi predilige i video ecco una interessante playlist:

1-Numeri Complessi : Introduzione e Rappresentazione :
https://www.youtube.com/watch?v=R2b0XF0 ... HiPjTZa0_M

2-Numeri Complessi : Operazioni in Forma Cartesiana
https://www.youtube.com/watch?v=z_UyoLT ... _M&index=2

3-Numeri Complessi : Forma Trigonometrica e Forma Esponenziale
https://www.youtube.com/watch?v=JE0lnOZ ... HiPjTZa0_M

4-Numeri Complessi : Radici e Potenze
https://www.youtube.com/watch?v=CKnEHwZ ... HiPjTZa0_M

5-Equazioni con i Numeri Complessi
https://www.youtube.com/watch?v=5l3tc_r ... HiPjTZa0_M

6-Equazioni con i Numeri Complessi - Seconda Parte
https://www.youtube.com/watch?v=8W1Oa0U ... HiPjTZa0_M

7-Numeri Complessi Esercizi Svolti
https://www.youtube.com/watch?v=IYoVKdP ... _M&index=7

+++
Se preferite i video a colri...Ecco la "Matematica colorata":

1-numeri complessi in forma algebrica (prima parte) flipped math (matematica a colori per tutti)
https://www.youtube.com/watch?v=Ix6vwWuPZ-I

2-numeri complessi in forma algebrica (seconda parte)
https://www.youtube.com/watch?v=eyu86ZZLWxY

3-forma trigonometrica di un numero complesso (prima parte)
https://www.youtube.com/watch?v=DYaUzrJbMeY

4-forma trigonometrica di un numero complesso seconda parte
https://www.youtube.com/watch?v=2mPlbs-u7v0

5-radice n-esima di un numero complesso (Formula di MOIVRE)
https://www.youtube.com/watch?v=Oo_MwUw9r5E
+++
Chiudo con alcune videolezione del chiarissimo (e spiritoso) Prof. Massimo Gobbino sui numeri complessi:

MAPS 080 (Prof. Gobbino - Università di Pisa - A.A. 2010-2011)
https://www.youtube.com/watch?v=SOPZdaeKwWo

MAPS 081 (Prof. Gobbino - Università di Pisa - A.A. 2010-2011)
https://www.youtube.com/watch?v=LfZgs2gj3eg

MAPS 082 (Prof. Gobbino - Università di Pisa - A.A. 2010-2011)
https://www.youtube.com/watch?v=brPLM_O-FQw&t=240s

MAPS 083 (Prof. Gobbino - Università di Pisa - A.A. 2010-2011)
https://www.youtube.com/watch?v=tzzGT31nLnI

Saluti.peppe

[Bruno]

Secondo Google
i elevato alla i = 0,947158998 + 0,32076445 i

Peppe, scrivendo $\;i$^$i\;$ in Google compare, in realtà, la corretta approssimazione $\;0.20787957635...$, sappiamo infatti (e lo abbiamo visto sopra) che si tratta di un numero reale.
Il valore che tu hai riportato corrisponde invece a $\;i$^$i$^$i$, il quale è un numero complesso.

[peppe]

A pensarci bene, in effetti, compare la scritta:

"i elevato alla (i elevato alla i) ="

dove "i" viene menzionato 3 volte.
Grazie Bruno.
Ciao.

[Pasquale]

.....che è lo stesso di i alla i elevato alla i.