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Volevo proporre questo problema sulla distribuzione di quadrati fra un determinato intervallo.

a) Dimostrare che per ogni numero intero positivo n, tra n e 2n (estremi inclusi) c'è sempre un quadrato perfetto.
b) se invece gli estremi sono esclusi cosa si può dire?

Ciao MB.Enigmi,
io partirei con lo studio delle seguenti disuguaglianze:
$\large n<([\sqr{n}]+k)^2<2n$
dapprima con k=1 e poi con k=2.
Tu hai qualche altra strategia da proporre?

Salve a tutti,
per quanto riguarda il punto a)

Mettiamoci nel caso peggiore, ossia supponiamo che $n-1$ sia un quadrato perfetto e vediamo se il quadrato perfetto immediatamente successivo rientri o meno nell'intervallo $[n,2n]$.
Affinchè rientri nell'intervallo la sua distanza da $n-1$ deve essere inferiore ad $n+2$.

E' noto che la distanza tra il quadrato di un intero $n$ ed il successivo è pari a $2n+1$.
Pertanto nel nostro caso si ha che il quadrato perfetto successivo ad $n - 1$ è

$(\sqrt{n-1})^2 + 2\sqrt{n-1}+1$

Quindi affinché tale quadrato sia interno all'intervallo deve essere

$2\sqrt{n-1}+1 < n+2 \quad\Rightarrow\quad 2\sqrt{n-1} < n+1 \quad\Rightarrow\quad 4(n-1) < (n+1)^2 \quad\Rightarrow\quad n^2-2n+5>0$

La disequazione è sempre vera, pertanto il quadrato perfetto successivo di $n-1$ sarà sempre compreso nell'intervallo $[n,2n]$.
Essendo questo il caso peggiore, ciò sarà vero anche per tutti gli altri casi possibili.

Saluti
Admin

per il caso b), se n=4, 2n sarà 8. escludendo gli estremi, restano 5-6 e 7 che non sono quadrati
questo si può dire.
Lo stesso si può dire per n=2

Per il caso b, mettendo in altra forma quanto già detto da Delfo, possiamo aggiungere che il caso più sfavorevole è quello in cui il primo estremo viene eliminato, essendo un quadrato, senza che nell'intervallo fra $n=k^2$ e $2n=2k^2$ ci sia un altro quadrato.

Poiché se il primo estremo è $k^2$, il quadrato successivo si trova in posizione $k^2+2k+1= (k+1)^2$, affinché si trovi egualmente un quadrato fra i due estremi esclusi, occorre che l'estremo maggiore sia:

$2k^2 > k^2+2k+1$
$k^2 > 2k+1$
$k^2-2k-1>0$

Questo è sempre vero per $k>1+sqrt{2}$, ovvero nel campo dei numeri naturali per k>2, cioè $k^2>4$ ed in definitiva per n >= 5.
Infatti, possiamo subito verificare che fra 5 e 10 esiste il quadrato 9 che non si trova su nessuno dei due estremi.

Ottimo ragazzi!
(scusa Gianfranco se non ti ho risposto al commento, ma ero privo di idee e anche di tempo.. )