2009^2009, calcoli e filosofia
Inviato: gio gen 19, 2017 9:34 pm
Peppe ha scritto:
Scrivo qui una proposta di soluzione seguita da alcune riflessioni filosofiche sui numeri.
Questo tipo di quesiti, alla finfine, chiede quanto fa una potenza MOD 9.
Perché se si chiede la somma della somma della somma delle cifre di un numero A, a meno che A non sia "troppo grande", la risposta è proprio A MOD 9.
Vediamo il caso di $A=2009^{2009}$.
1) Da quante cifre è formato $2009^{2009}$ ?
$ncifre = INT(1+2009 \cdot Log2009)=6636$ cifre.
Il logaritmo è in base 10 perchè il numero in questione è scritto in base 10.
2) Quanto vale al massimo A=somma delle cifre di $2009^{2009}$ ?
Se fossero tutti 9, la loro somma sarebbe al massimo:
$6636 \cdot 9=59724$ (è un numero di 5 cifre)
3) Quanto vale al massimo B=somma delle cifre di A?
Poiché $A \le 59724$, B vale al massimo la somma delle cifre di $49999=40$, quindi $B \le 40$
4) Quanto vale al massimo C=somma delle cifre di B?
Poiché $B \le 40$, C vale al massimo la somma delle cifre di 39, quindi $C \le 12$
5) Ora subentra il MOD 9. In BASE 10, qualunque numero è uguale alla somma delle sue cifre MOD 9
Quindi abbiamo che:
$C \le 12$ (questo sarà importante per escludere i casi C = 1, 2, 3)
e
$C=2009^{2009} \bmod 9$
6) Quanto vale $2009^{2009} \bmod 9$ ?
Tra i diversi modi per risolvere questo tormentone, c'è nè uno istruttivo.
Ecco i ragionamenti, in sequenza:
$2009^{2009} = 2^{2009} \bmod 9$
$2^{2009} = (((2)^7)^7)^{41} \bmod 9$ (scomposizione di 2009 in fattori primi)
$2^7 = 128 = 2 \bmod 9$
$(((2)^7)^7)^{41} = ((2)^7)^{41} \bmod 9 = 2^{41} \bmod 9$
$2^{41} = 2^7 \cdot 2^7 \cdot 2^7 \cdot 2^7 \cdot 2^7 \cdot 2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2^6 \bmod 9$
$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2^6 = 2^7 \cdot 2^4 = 2^5 \bmod 9$
$2^5 = 32 = 5 \bmod 9$
In conclusione:
$2009^{2009} = 5 \bmod 9$
Perciò, siccome:
$C \le 12$ e $C=5 \bmod 9$
Si ha che $C=5$
La somma della somma della somma delle cifre di 2009^2009 è 5.
-----
Riflessione filosofica.
Se siete arrivati fin qui, ci tengo umilmente a dire che i problemi di questo tipo NON ci aiutano a conoscere davvero l'essenza dei numeri.
Perchè?
Perché non riguardano le vere proprietà dei numeri ma sono soltanto indovinelli sulle proprietà delle rappresentazioni dei numeri.
Per esempio "la somma delle cifre" o "quante cifre" o "l'ultima cifra" sono proprietà che riguardano il modo in cui scriviamo i numeri e non i numeri stessi.
Ma questa è un'altra storia...
(tratto da: http://www.mat.uniroma2.it/~mongodi/oli/ese1.pdf)Quesito n.17.
Sia A la somma delle cifre di $2009^{2009}$ e B la somma delle cifre di A.
Quanto vale la somma delle cifre di B?
Scrivo qui una proposta di soluzione seguita da alcune riflessioni filosofiche sui numeri.
Questo tipo di quesiti, alla finfine, chiede quanto fa una potenza MOD 9.
Perché se si chiede la somma della somma della somma delle cifre di un numero A, a meno che A non sia "troppo grande", la risposta è proprio A MOD 9.
Vediamo il caso di $A=2009^{2009}$.
1) Da quante cifre è formato $2009^{2009}$ ?
$ncifre = INT(1+2009 \cdot Log2009)=6636$ cifre.
Il logaritmo è in base 10 perchè il numero in questione è scritto in base 10.
2) Quanto vale al massimo A=somma delle cifre di $2009^{2009}$ ?
Se fossero tutti 9, la loro somma sarebbe al massimo:
$6636 \cdot 9=59724$ (è un numero di 5 cifre)
3) Quanto vale al massimo B=somma delle cifre di A?
Poiché $A \le 59724$, B vale al massimo la somma delle cifre di $49999=40$, quindi $B \le 40$
4) Quanto vale al massimo C=somma delle cifre di B?
Poiché $B \le 40$, C vale al massimo la somma delle cifre di 39, quindi $C \le 12$
5) Ora subentra il MOD 9. In BASE 10, qualunque numero è uguale alla somma delle sue cifre MOD 9
Quindi abbiamo che:
$C \le 12$ (questo sarà importante per escludere i casi C = 1, 2, 3)
e
$C=2009^{2009} \bmod 9$
6) Quanto vale $2009^{2009} \bmod 9$ ?
Tra i diversi modi per risolvere questo tormentone, c'è nè uno istruttivo.
Ecco i ragionamenti, in sequenza:
$2009^{2009} = 2^{2009} \bmod 9$
$2^{2009} = (((2)^7)^7)^{41} \bmod 9$ (scomposizione di 2009 in fattori primi)
$2^7 = 128 = 2 \bmod 9$
$(((2)^7)^7)^{41} = ((2)^7)^{41} \bmod 9 = 2^{41} \bmod 9$
$2^{41} = 2^7 \cdot 2^7 \cdot 2^7 \cdot 2^7 \cdot 2^7 \cdot 2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2^6 \bmod 9$
$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2^6 = 2^7 \cdot 2^4 = 2^5 \bmod 9$
$2^5 = 32 = 5 \bmod 9$
In conclusione:
$2009^{2009} = 5 \bmod 9$
Perciò, siccome:
$C \le 12$ e $C=5 \bmod 9$
Si ha che $C=5$
La somma della somma della somma delle cifre di 2009^2009 è 5.
-----
Riflessione filosofica.
Se siete arrivati fin qui, ci tengo umilmente a dire che i problemi di questo tipo NON ci aiutano a conoscere davvero l'essenza dei numeri.
Perchè?
Perché non riguardano le vere proprietà dei numeri ma sono soltanto indovinelli sulle proprietà delle rappresentazioni dei numeri.
Per esempio "la somma delle cifre" o "quante cifre" o "l'ultima cifra" sono proprietà che riguardano il modo in cui scriviamo i numeri e non i numeri stessi.
Ma questa è un'altra storia...