Io sono rimasto a bocca aperta.
Mi sembra quasi un gioco di prestigio, in cui il prestigiatore
svela il "trucco" della sua magia.
Poi, come al solito, incuriosito dall'affermazione:
" Se un numero naturale si può esprimere in due modi diversi come somma di due quadrati
allora è scomponibile in due fattori della stessa forma "
mi sono messo a cercare per approfondire l'argomento.
Qui ho trovato la
Proposizione 3.1.:
" Siano n;m due numeri appartenenti all'insieme N+. Se n e m possono essere scritti come
somma di due quadrati di interi, allora anche nm può essere scritto come somma di due quadrati di interi. "
Non ci ho capito nulla! Il che costituisce un valore aggiunto alla spiegazione del nostro "mago", che
invece sono riuscito a capire senza difficoltà.
E la cosa non finisce qui.
Infatti, come sempre succede, a furia di cercare, si scovano altre curiosità... che, almeno per me, rendono
proficua la partecipazione al forum.
Giusto per fare un esempio, durante la ricerca ho trovato
questo file
in cui vengono proposti numerosi quesiti e riportate le relative soluzioni.
Mi hanno incuriosito i quesiti numero 17 e numero 23.
Li propongo qui perché la soluzione del primo non mi è chiara, e quella del secondo mi ha chiarito
le idee su un argomento che ignoravo...
Quesito n.17.
Sia A la somma delle cifre di $2009^{2009}$ e B la somma delle cifre di A.
Quanto vale la somma delle cifre di B?
Soluzione quesito n.17:
Stimando il numero di cifre si trova che la risposta al problema è minore
di 12. Inoltre, ogni numero è congruo modulo 9 alla somma delle sue cifre.
Ho calcolato con WolframAlpha:
$2009^{2009}$ =
4860634075976741550873318090381650323611933510915648748925082545868153514437255003077878933959
3426480280486882269712674884836574312070759882855497999825128911430019910455473158193997407616
6040044898616366571717429934346339880899748354998033212671145687638883375998078378262541499938
3533152292624852338061201602736981951404471695371631369996783643612581162223994760939593969710
107835068026468701085352...
Decimal approximation:
4.860634075976741550873318090381650323611933510915648... × 10^6635
Number length: 6636 decimal digits
da dove scaturisce l'affermazione riortata nella soluzione?
+++
Quesito n.23.
Dimostrare che il prodotto di due somme di due quadrati è anch'esso somma di due quadrati.
Soluzione quesito n.23:
$(x^2 + y^2)(z^2 + w^2) = (xz + yw)^2 + (xw - yz)^2$
Ho calcolato la somma dei due quadrati: $(xz + yw)^2 + (xw - yz)^2$ e i conti tornano.
Però non riuscivo a capire da dove saltava fuori il segno meno all'interno del secondo quadrato:$(xw - yz)^2$
Ho approfondito la ricerca sullo sviluppo della somma dei quadrati :$(a^2 + b^2) = ?$, per
scovare una qualche soluzione, analoga a quella della differenza di due quadrati:$(a^2 - b^2) = (a+b)(a-b)$
Questa chiarissima dissertazione sull'argomento
somma di due quarati
è la dimostrazione pratica che la partecipazione al forum è proficua...
+++
E a propsito di
potenze e congruenze, ho trovato interessante il capitolo
2.4.1
relativo agli approfondimenti sull'argomento :
" Elevamento a potenza ", che è possibile leggere a pagina 26 di
questo corposo tomo in formato .pdf
Saluti. peppe