Divisibilità e primalità
Inviato: ven gen 06, 2017 10:31 pm
La $\sqrt a$ è un separatore?
Quando si "naviga" costeggiando la riva, ossia a vista e terra-terra, le
probabilità di incappare in una secca sono altissime specialmente
se non si possiede una carta nautica (leggi, matematicamente parlando, le dovute nozioni di base).
E oggi mi sono "arenato" in un imprevisto "banco di sabbia".
L'argomento riguardava la primalità dei numeri.
Come si fa a verificare se un numero è primo?
" Verificare se un numero a è primo o meno è un problema complesso, tuttavia sono note
alcune strategie per farlo.
Una prima strategia (utile anche per trovare la fattorizzazione di un numero non primo)
consiste nel dividere il numero a per tutti i primi noti in ordine crescente, fino
ad arrivare a $\sqrt{a}$. A quel punto, se nessuno dei primi che abbiamo provato era un divisore esatto
di a, allora a è certamente primo.
E fin qui la "cosa" è di una chiarezza lampante.
Senonché, l'Autore della discussione, per guastarmi il piacere d'aver capito, una volta tanto, una
cosa senza sforzarmi eccessivamente, e farmi "arenare", ci mette di traverso il "banco di sabbia"
di cui sopra: un vero bastone fra le ruote.
Perché continua asserendo:
Infatti se possiede un divisore $d > \sqrt a$, possiede anche il divisore $a/d < \sqrt a$.
E siccome, per "diffidenza", quando si ragiona sui numeri, ( e non sulle persone...) a
San Tommaso,(con il dovuto rispetto), non ho nulla da invidiare, mi sono messo all'opera facendo degli esempi pratici:
a = 23
$\sqrt23 = 4,79$ i primi inferiori a 4,79 sono 2 e 3 che non dividono il 23 : 23 è primo.
a = 24
$\sqrt 24 = 4,89$ i primi inferiori a 4,89 sono 2 e 3, quello superiore è 6
tutti dividono il 24 che quindi è composto.
$d >\sqrt a$------> 6 > 4,89
$a/d <\sqrt a$---> 24/6 = 4 < 4,89
+++
a = 25 quadrato perfetto non ci sono problemi.
+++
a = 26
$\sqrt 26 = 5,09$ i primi inferiori a 5,09 sono 2,3,5 e solo 2 è un divisore.
i primi superiori a 5,09 sono: 7,11 e 13 e solo 13 è un divisore.
$d > \sqrt a$------> 13 > 5,09
$a/d <\sqrt a$---> 26/13 = 2 < 5,09
Quello che non capisco è perché viene tirata in ballo la radice quadrata del numero.
E così, ragionando alla "Marzullo", mi sono fatto una domanda:
La radice quadrata di a è forse un separatore che fa da spartiacque tra numeri composti
e numeri che sono quadrati perfetti?
E dato questa risposta:
Se per i numeri composti che sono quadrati perfetti tipo 25, (escludendo 1 e 25) tra i divisori
c'è solo il 5, ossia la radice del numero, negli altri casi di numeri composti che non sono
quadrati perfetti ci sono divisori minori della radice del numero in questione e maggiori della
stessa, per cui la radice si comporta come se fosse un "separatore".
Intuisco il senso del ragionamento...ma algebricamente come si spiega?
Probabilmente la domanda è banale, ma, come al solito, non ne sono così certo...
Perdonate...peppe.
Quando si "naviga" costeggiando la riva, ossia a vista e terra-terra, le
probabilità di incappare in una secca sono altissime specialmente
se non si possiede una carta nautica (leggi, matematicamente parlando, le dovute nozioni di base).
E oggi mi sono "arenato" in un imprevisto "banco di sabbia".
L'argomento riguardava la primalità dei numeri.
Come si fa a verificare se un numero è primo?
" Verificare se un numero a è primo o meno è un problema complesso, tuttavia sono note
alcune strategie per farlo.
Una prima strategia (utile anche per trovare la fattorizzazione di un numero non primo)
consiste nel dividere il numero a per tutti i primi noti in ordine crescente, fino
ad arrivare a $\sqrt{a}$. A quel punto, se nessuno dei primi che abbiamo provato era un divisore esatto
di a, allora a è certamente primo.
E fin qui la "cosa" è di una chiarezza lampante.
Senonché, l'Autore della discussione, per guastarmi il piacere d'aver capito, una volta tanto, una
cosa senza sforzarmi eccessivamente, e farmi "arenare", ci mette di traverso il "banco di sabbia"
di cui sopra: un vero bastone fra le ruote.
Perché continua asserendo:
Infatti se possiede un divisore $d > \sqrt a$, possiede anche il divisore $a/d < \sqrt a$.
E siccome, per "diffidenza", quando si ragiona sui numeri, ( e non sulle persone...) a
San Tommaso,(con il dovuto rispetto), non ho nulla da invidiare, mi sono messo all'opera facendo degli esempi pratici:
a = 23
$\sqrt23 = 4,79$ i primi inferiori a 4,79 sono 2 e 3 che non dividono il 23 : 23 è primo.
a = 24
$\sqrt 24 = 4,89$ i primi inferiori a 4,89 sono 2 e 3, quello superiore è 6
tutti dividono il 24 che quindi è composto.
$d >\sqrt a$------> 6 > 4,89
$a/d <\sqrt a$---> 24/6 = 4 < 4,89
+++
a = 25 quadrato perfetto non ci sono problemi.
+++
a = 26
$\sqrt 26 = 5,09$ i primi inferiori a 5,09 sono 2,3,5 e solo 2 è un divisore.
i primi superiori a 5,09 sono: 7,11 e 13 e solo 13 è un divisore.
$d > \sqrt a$------> 13 > 5,09
$a/d <\sqrt a$---> 26/13 = 2 < 5,09
Quello che non capisco è perché viene tirata in ballo la radice quadrata del numero.
E così, ragionando alla "Marzullo", mi sono fatto una domanda:
La radice quadrata di a è forse un separatore che fa da spartiacque tra numeri composti
e numeri che sono quadrati perfetti?
E dato questa risposta:
Se per i numeri composti che sono quadrati perfetti tipo 25, (escludendo 1 e 25) tra i divisori
c'è solo il 5, ossia la radice del numero, negli altri casi di numeri composti che non sono
quadrati perfetti ci sono divisori minori della radice del numero in questione e maggiori della
stessa, per cui la radice si comporta come se fosse un "separatore".
Intuisco il senso del ragionamento...ma algebricamente come si spiega?
Probabilmente la domanda è banale, ma, come al solito, non ne sono così certo...
Perdonate...peppe.