BASE CINQUE FORUM

Cercare curiosità matematica nei vari siti , blog o semplici file in PDF disseminati
nel maremagnum denominato "web", è diventato il mio svago preferito.

A furia di "annusare" (ossia sbirciare velocemente perché non si ha il tempo di leggere tutto)
sono riuscito a sviluppare, un po' come fanno i "cani da cerca", un "olfatto" particolare.

Il più delle volte si tratta di "fortuna". In altre cicostanze invece, intuisco dal
titolo o dalla frettolosa lettura dell'introduzione, che vale la pena continuare ad esplorare.
A volte basta una frase ad effetto come questa:
" Nelle spiegazioni è bene essere chiari ed esaurienti e scrivere come se il lettore possedesse scarse
conoscenze di matematica" "Pier Luigi Ferrari, per capire che la lettura sarà proficua.

Quando poi la segnalazione al forum risveglia, come in questo caso, la nostalgia di qualche amico...
Allora la cosa si fa interessante e non si può non approfondire l'argomento.
Non si tratta d'impiccioneria ma di sana curiosità.

Matematica: l'importante è non scoraggiarsi
Basta usare un liguaggio appropriato.

E ora , per iniziare, riporto alcune delle curiosità rimaste in sospeso nel thread Auguri:

1) È possibile che esista un numero di due cifre p, tale che il numero ottenuto scambiando le
cifre sia il doppio di p?

2) Trovare due numeri a, b, con a diverso da b, che abbiano somma e prodotto uguali.

3) Stabilire se è vero che $10^{30}$ è divisibile per $(10^{20})+1$

Questo invece viene spiegato in modo abbastanza chiaro:

4) Considerate la proprietà “ La somma di un numero dispari col numero dispari seguente è un multiplo di 4 ”.
Facciamo qualche prova: 1+3=4; 3+5=8; 5+7=12; 7+9=16, …
Possiamo essere certi che la proprietà vale in generale?

Saluti.peppe

ciao Peppe, la 4 e`vera in generale, te lo garantisco,

poniamo che il primo numero sia n, il secondo e`n+2.
la somma e`2n+2 che dividendolo per due vale n+1 che e`certamente pari

Ti propongo le mie risposte, Peppe.

1)
2·(10·x+y) = 10·y+x porta a 19·x = 8·y, ma questo impone che la cifra y sia un multiplo di 19, cosa non accettabile.

2)
Generalizziamo un po' la questione e consideriamo p³ e p²+1.
Qualunque divisore primo di p²+1 non può naturalmente dividere p, poiché in tal caso esso dovrebbere dividere anche 1.
Di conseguenza, nessun divisore primo di p²+1 può dividere p³, così p³ (o una qualsiasi potenza di p superiore) non può essere un multiplo di p²+1.

3)
Se a·b = a+b, possiamo anche dire che a·(b-1) = b.
Assumiamo a = b/h e quindi b-1 = h, con h non nullo scelto a piacere.
Abbiamo allora: a = 1/h+1 e b = h+1, e pertanto: a·b = a+b = (h+1)²/h.

Bruno grazie per la cortese disponibilità.
E allora seguendo la tua numerazione (che è un po' diversa dalla mia... ).
Abbiamo:
p4) O.K. avevo già la soluzione.

p1) Anche io ho fatto lo stesso ragionamento poi mi sono bloccato, pensando d'aver sbagliato.

p2) Ho sostituito alla lettera p un valore numerico è ho potuto verificare
la veridicità delle tue affermazioni.
Poi ho dato in pasto a wolframalpha l'espressione: $10^{30}/(10^{20})+1)$ e , il " mostro ", ha
eruttato questo risultato approssimato:

9.999999999999999999900000000000000000001000000000000... × 10^9
oppure:
0.9999999999999999999900000000000000000000^_ × 10^10 (period 40)
che non essendo un numero intero convalida la tesi.

Però, onestamente, ho le idee un po' confuse... vorrei una dimostrazione più
convincente... più terra-terra. Non dare per scontato nessun passaggio e... vedrai che riuscirai
ad " illuminarmi ".

p3) I passaggi sono chiarissimi, però volendo fare un caso pratico, le due cifre (a) e (b) che
compongono il numero come li trovo?
Ho provato a sostituire al paramatro positivo h dei numeri interi, nell'espressione $(h+1)^2/h$ e il risultato è:

h=1--->4 (ossia una sola cifra anziché due)
h=2--->9/2
h=3--->16/3
h=4--->25/4
...
...
Insomma i conti non mi tornano.
Saluti. peppe

Ciao a tutti!
Grazie Bruno.
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Aggiungo qualche "curiosità sul:

Trovare due numeri a, b, con a diverso da b, che abbiano somma e prodotto uguali.

I numeri che soddisfano l'uguaglianza sono le coordinate dell'iperbole in figura. Ci sono anche coppie di numeri discordi, tipo:
(-9; +0.9) --> somma = prodotto = -8,1.
Peppe, per trovare altre coppie (a,b) usando le formule di Bruno si fa così:
1) Scegli un valore per h, es. h=5
2) Calcoli a, b:
a = 1/h+1 = 6/5
b = h+1 = 6
3) Verifica:
6*6/5 = 36/5
6+6/5 = 36/5
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Riguardo a:

La somma di un numero dispari col numero dispari seguente è un multiplo di 4

io lo dimostrerei così:
1) un numero dispari si esprime: 2k+1
2) il suo successivo dispari allora è: 2k+1+2 = 2k+3
3) la somma dei due numeri è: 2k+1+2k+3 = 4k+4 = 4(k+1) --> divisibile certamente per 4

Torno su:

Stabilire se è vero che $10^{30}$ è divisibile per $10^{20}+1$

La dimostrazione di Bruno è ricca di spirito matematico perché inserisce un caso particolarissimo in una situazione più generale.
Io qui vorrei risolvere il problema limitandomi al caso particolare ma usando una di quelle tecniche matematiche un po' nebbiose che ti dimostrano che una cosa è impossibile senza fare calcoli e senza costruire nulla. Non a tutti piace questa tecnica.
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Siamo nei numeri naturali.
Userò il seguente teorema già pronto:
Ogni divisore di un numero $p$ deve essere anche divisore di ogni numero $q$ multiplo di $p$.
Per esempio 3 è divisore di 6 e quindi è divisore anche di tutti i multipli di 6.

Dal teorema precedente discende automaticamente che:
Se un numero $p$ ha un divisore che non divide un altro numero $q$ allora $q$ non può essere multiplo di $p$
Per esempio nessun numero del tipo $10^n$ può essere multiplo di 6 (o divisibile per 6) perché 6 ha come divisore 3 il quale non è divisore di $10^n$.
(I numeri del tipo 10^n hanno come divisori primi solo 2 e 5)
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$10^{30}$ NON E' DIVISIBILE per $10^{20}+1$ perché:

a) $10^{30}$ ha come divisori primi solo 2 e 5.
b) $10^{20}+1$ o è primo o non è primo.
c) se è primo, certamente non è né 2 né 5 perciò NON divide $10^{30}$
d) se non è primo ha certamente un divisore primo diverso da 2 (e anche da 5) perciò NON divide $10^{30}$

Visto che siamo in tema di curiosità, ho chiesto a wxMaxima alcune informazioni su 10^20+1, ottenendo questi risultati:

Tutto O.K. Grazie Gianfranco.
Saluti. peppe.

Ottimo, Gianfranco

Se vogliamo limitarci al caso proposto, Peppe, poiché$\;10 = 2\cdot 5$, abbiamo anche $\;10^{\small30} = 2^{\small 30}\cdot 5^{\small 30}$. Questo significa che gli unici divisori
dispari di $\;10^{\small30}\;$ (a parte $\;1$) sono $\;5$, $\;25 = 5^{\small 2}$, $\;125 = 5^{\small 3}$, $\;625 = 5^{\small 4}$, ..., fino a $\;5^{30}$, si tratta quindi di numeri che terminano tutti
con $\;5$.
$10^{\small20}+1\;$ è senz'altro un numero dispari, dal momento che segue immediatamente un numero pari, e cioè $\;10^{\small20}$, ma per dividere $\;10^{\small30}$
(lo abbiamo visto prima) esso dovrebbe innanzitutto terminare con $\;5$, e invece termina con $\;1$.
Un altro aspetto della tua questione che ci porta a concludere che $\;10^{\small30}\;$ non è divisibile per $\;10^{\small 20}+1$.

Magnifico Bruno. Più chiari di così come siete stati, tu e Gianfranco, si muore!
Mi dovete perdonare... sapete bene quali sono i miei limiti...
Grazie ancora ad entrambi. peppe