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Il quadrato nel quadrato

Inviato: dom ott 16, 2016 9:38 pm
da 0-§
Paoletto si è iscritto di recente a un corso di ceramica.

Come esercizio ha creato una bella piastrella quadrata, di lato unitario, finemente decorata.

Ma mentre la trasporta per esibirla inciampa e ... disastro! La piastrella cade per terra e si rompe.

Paoletto, dispiaciuto, nota che la piastrella si è rotta lungo due linee rette.

Nota anche che da uno dei pezzi si potrebbe ricavare un quadrato di lato pari a un terzo della piastrella originale.

Nell'immagine si vedono 3 modi in cui potrebbe essersi rotta la piastrella di Paoletto.
2016-10-16 21_26_00-GeoGebra.png
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Dimostrare che in realtà, dati due tagli lineari in un quadrato unitario, si trova sempre un quadrato di lato 1/3 contenuto in uno dei pezzi ricavati e con i lati paralleli a quelli del quadrato grande.

Saluti
0-§

P.S.: una volta risolto questo problema, potreste dimostrare che lo stesso vale se i tagli sono 3, prendendo un quadrato di lato 1/4.

Re: Il quadrato nel quadrato

Inviato: lun ott 17, 2016 7:31 pm
da panurgo
Si danno due possibilità:

caso 1: i due segmenti non si intersecano
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I due segmenti intersecano una diagonale principale suddividendola in tre parti sulle quali si possono costruire tre quadrati come in figura: almeno uno dei tre quadrati deve avere il lato maggiore o uguale ad un terzo di quello della piastrella.

caso 2: i due segmenti si intersecano

Supponiamo che i segmenti in questione siano le diagonali del quadrato
quaNelQua002.png
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Il quadrato piccolo in figura ha evidentemente il lato pari ad un terzo della piastrella (le sue diagonali sono congruenti ai tratti delle diagonali della piastrella che congiungono i vertici): per impedire questo quadrato sarebbe necessario abbassare almeno una delle due diagonali con la conseguenza di creare uno spazio maggiore dall'altra parte.

Potenza delle simmetrie... :wink:


Per quanto riguarda la rottura lungo tre segmenti l'argomento del caso 1 continua a valere: devo studiare il caso dei segmenti che si intersecano.

PS
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