Spìdi 2

[Br1]

Uno

In una progressione aritmetica il
prodotto dei primi sei termini è $\small -945$,
mentre il rapporto fra il terzo e il
quarto termine è $\frac 53$.

Quanti termini si devono considerare
per avere una somma nulla?



Due

Disegniamo una "O" con una tazza e
prendiamo un righello, tipo "doppio
decimetro", però non graduato.

Come potremmo individuare il centro
di questa circonferenza?



Tre

Assumendo $a, \/x,\/y,\/z \in \mathbb{Q}$, trovare infinite
soluzioni per la doppia equazione:

$\large x^{\script 2}-a\cdot x = y^{\script 2} \\ \large x^{\script 2}+ a\cdot x = z^{\script 2}\/.$

[delfo52]

UNO
per avere un prodotto negativo, il numero dei fattori negativi deve essere 1 o 3 o 5
3 non può essere perchè il terzo e il quinto termine devono avere lo stesso segno.
i segni possono dunque essere
- + + + + +
- - - - - +
+ + + + + -
+ - - - - -

per ora mi fermo qui; è troppo caldo

[delfo52]

DUE
il righello ha forma rettangolare "garantita" ?
è consentito l'uso del righello, a mò di braccio di compasso?

[franco]

DUE

Provo prima a descrivere a parole il procedimento; poi, se ci riesco, provo anche a fare il disegno.

Disegno tre linee tangenti al cerchio (T1,T2 e T3).
Contemporaneamente disegno anche, utilizzando il secondo lato del righello, le tre linee parallele alle tangenti (P1, P2 e P3); dovranno essere tutte e tre rivolte verso l'esterno o tutte verso l'interno del cerchio.
Traccio la linea L1 passante per i punti di intersezione T1+T2 e P1+P2 (è una notazione inventata sul momento, si capisce?).
Traccio la linea L2 passante per i punti di intersezione T2+T3 e P2+P3.
Il punto di intersezione L1+L2 corrisponde (se sono stato sufficientemente preciso) al centro del cerchio.

Il disegno mi viene più o meno così:


Naturalmente disegnare le tangenti al cerchio non è facilissimo...

Magari è meglio se, disegnato il cerchio, lascio stare ferma la tazza: in tal modo basta poggiare il righello per essere certi di essere tangenti!

[Sancho Panza]

Problema UNO

Essendo il rapporto fra il terzo e il quarto termine uguale a $\frac{5}{3}$ abbiamo che:

chiamando x la ragione della serie e $S_n$ il termine n-esimo della serie

$\frac{{S_3 }}{{S_3 + x}} = \frac{5}{3}$

$3S_3 = 5S_3 + 5x$

$- 2S_3 = 5x$

$S_3 = - \frac{5}{2}x$

Da cui:
$S_1 = - \frac{9}{2}x$

$S_2 = - \frac{7}{2}x$

$S_4 = - \frac{3}{2}x$

$S_5 = - \frac{1}{2}x$

$S_6 = \frac{1}{2}x$

Quindi per avere somma nulla basta sommare il 5° e il 6° termine.
Se è obbligatorio partire dal primo termine allora devo considerare 10 termini.

Si può notare che la condizione che il prodotto dei primi sei termini è uguale a -945 non è stata utilizzata.
Considerando tale condizione si scopre che questa progressione aritmetica parte da -9
ed ha ragione aritmetica uguale a 2.
Infatti:

$\left( { - \frac{9}{2}x} \right)*\left( { - \frac{7}{2}x} \right)*\left( { - \frac{5}{2}x} \right)*\left( { - \frac{3}{2}x} \right)*\left( { - \frac{1}{2}x} \right)*\left( {\frac{1}{2}x} \right) = - \frac{{945}}{{64}}x^6$

Dovendo essere: $- \frac{{945}}{{64}}x^6 = - 945$
Otteniamo: $x^6 = 64$

Quindi: x=2 e $S_n = - 9, - 7, - 5, - 3, - 1, + 1, + 3, + 5, + 7, + 9,...$

[Br1]

Devo ancora leggere le vostre risposte, che riuscirò
forse a fare nel pomeriggio. A occhio, comunque, mi
sembrano giuste e interessanti

Mi sono però affrettato a correggere l'ultimo quiz
perché non l'avevo formulato bene.

DUE
il righello ha forma rettangolare "garantita"?

Sì, Enrico, possiamo considerare garantita la forma
rettangolare del righello. Forse, però, è meglio non
fidarsi troppo degli angoli, di cui possiamo fare a
meno.

[Br1]

Sono riuscito a rileggere i post: benissimo

Molto efficace ed elegante il metodo di Franco
per rispondere al secondo quiz!
Altre idee?
Conosco almeno un altro metodo, forse un po'
più bruttino, ma a suo modo simpatico.

Per Sancho: ottimo! Io ho interpretato la
somma nulla come riferita ai primi termini,
quindi 10 è la risposta "ufficiale " del problema.
Ma trovo ragionevole anche la tua prima
risposta, cioè 2, e però, seguendo questa via,
si potrebbe pensare anche a 4 (4°, 5°, 6° e
7°), 6 etc. Con la seconda risposta si ha invece
un risultato unico, che naturalmente vale per
qualsiasi scelta della ragione e del termine
iniziale per i quali sia rispettata la condizione
dei $\/\frac 53$.
Giustamente, il dato -945 è del tutto superfluo

[delfo52]

l'uso da me ipotizzato del righello rettangolare garantito, prevede la costruzione di due coppie di corde aventi ciascuna un estremo in comune, corde AB e BC ; e corde HK e KL. L'uso del righello permette di costruire gli angoli in B e in K rigorosamente retti. A questo punto i segmenti AC e HL sono due diametri e come tali si incontrano nel centro

[franco]

Con un righello perfettamente rettangolare posso posizionare due vertici sul cerchio ed avere 3 corde perpendicolari fra loro che mi definiscono un rettangolo inscritto alla circonferenza.
L'incrocio delle diagonali di questo rettangolo è il centro del cerchio (seo).

Con un disegno penso sia più comprensibile:

[Br1]

Ok, Enrico e Franco: quello che dite è
naturalmente corretto!
Supponiamo, allora, che vi sia capitato
un righello a forma di rettangolo
Benissimo.

In un cassetto del mio ufficio, però, ho
trovato un doppio decimetro con gli
angoli arrotondati (e non so se in maniera
davvero perfetta), eccolo. E' graduato ma
dobbiamo far finta che non lo sia, inoltre
l'immagine lascia molto a desiderare.
Mi sarebbe piuttosto difficile, comunque,
applicare le vostre giuste idee con tale
strumento.

Di certo, dobbiamo aspettarci che questo
benedetto righello abbia almeno i lati
maggiori paralleli, questo sì, e ciò può
bastare per trovare un ulteriore metodo
costruttivo, oltre a quelli visti fin qui.
Mi sembra che Franco non sia nemmeno
tanto lontano...

[franco]

Secondo me la prima ipotesi era fattibile anche con quel catorcio di righello.
Se però vogliamo evitare di andare per tangenti forse può funzionare anche quest'altro metodo:

[Pasquale]

Se il supporto è trasparente, guardando il cerchio controluce, piego la carta, in modo che due semicerchi si sovrappongano; piego ancora, in modo da ottenere 4 quadranti sovrapposti. Le piegature rappresentano 2 diametri che s'intersecano nel centro.

[Pasquale]

Eh si, siamo lì, si tratta di tracciare due diametri: scelti 2 punti qualsiasi P e Q sulla circonferenza, piazzo il righello sui punti a mo' di tangente e poi traccio 2 parallelle....quindi diagonali, ecc. (è il caso limite dell'ultimo sistema di Franco)



(Enrico, stai diventando un po' pigro: piazzati almeno uno scanner da cui copiare disegnini fatti a mano)

[Br1]

Secondo me la prima ipotesi era fattibile anche con quel catorcio di righello.

Quale prima ipotesi intendi, Franco?
Se ti riferisci alla tua prima soluzione, credo
che sia la più elegante (come ho già scritto)
e senza dubbio è realizzabile anche con il
mio righello sgangherato (peraltro non è mio,
ma devo trattarlo come se lo fosse) ---
Più difficile, mi sembra, è pensare di utilizzarlo
se gli angoli retti diventano una caratteristica
importante per la costruzione...

Vedo, comunque, che avete trovato altri metodi
e questo fatto, oltre che inaspettato (il caldo
mi rallenta parecchio i pensieri), mi fa molto
molto piacere!
Bravissimi

Ma ne esiste un altro ancora...
Una specie di via di mezzo fra ciò che abbiamo
visto finora.
E Franco continua a rimanere (brillantemente)
nei paraggi!

[Pasquale]

Allora, ancora un'alternativa per la ricerca di un diametro: