BASE CINQUE FORUM

Alì, negoziante di tappeti, sta valutando l'acquisto di un magnifico tappeto persiano, che intende poi rivendere con un buon
guadagno.

Purtroppo ha smarrito il suo metro a nastro e non sa come prendere le misure del tappeto.

D'un tratto ha un'idea: prova a stendere il tappeto in una delle stanze del suo negozio e trova che ciascun angolo del tappeto
è a contatto con una parete (una parete diversa per ciascun angolo). Prova a ripetere l'esperimento nell'altra stanza
del negozio e ottiene lo stesso risultato.

Alì sa che le stanze del suo negozio misurano 38 piedi per 55 e 50 piedi per 55.

Quanto è grande il tappeto?

Si assuma che il tappeto sia esattamente rettangolare, così come le due stanze del negozio, e che venga steso per terra
senza pieghe.

Saluti
0-§

[Dopo un mix di laboriose elucubrazioni, direi approssimativamente: (49,892 x 37,846) (errato)]


Nel disegno che segue, il tappeto di dimensioni $x\cdot y$ è sistemato contemporaneamente nelle due stanze, che appaiono oblique e con l'indicazione delle variabili a,b,c,d:
Applicando il teorema di Pitagora con riferimento alla stanza di sinistra ed a quella di destra, si ottiene:

1) $x^2 = a^2+(55-b)^2 = c^2+(55-d)^2$
2) $y^2 = b^2+(38-a)^2 = d^2+(50-c)^2$

da cui:

$\{a^2+55^2-110b+b^2 = c^2+55^2-110d+d^2\\b^2+38^2-76a+a^2 = d^2+50^2-100c+c^2$ $\text{ }\{a^2+b^2-c^2-d^2 = 110b-110d\\a^2+b^2-c^2-d^2 = 76a-100c+50^2-38$

e quindi:

110b-110d=76a-100c+1056;

3) 110b+100c-110d-76a=1056

Giunti a questo punto, subentra una routine in Decimal Basic per la determinazione di a,b,c,d e quindi di x ed y.
La x e la y di cui alle 1) e 2) vengono elaborate come x1,x2, y1,y2 ed in particolare:

$x1=\sqrt{a^2+(55-b)^2}$ ed $x2=\sqrt{c^2+(55-d)^2}$ vengono fra loro comparate, finché non si trovi che x1=x2=x

Similmente si procede per

$y1=\sqrt{b^2+(38-a)^2}$ ed $y2=\sqrt{d^2+(50-c)^2}$, finché y1=y2=y

Poiché i valori in gioco risultano approssimati, considerati i lunghi e lenti processi, riporto di seguito una routine semplificata, (che risulta errata nella formulazione e che depenno per mettere ordine)

(Continua sotto)

Il tappeto è $50 \times 25$: le spiegazioni a domani...

Confermo il risultato annunciato da Panurgo e gli errori della mia precedente routine di calcolo e ricerca, modificando la quale, cioè analizzando soltanto i possibili valori interi di a,b,c,d, trovo i seguenti risultati (fra cui quello di Panurgo), che si riferiscono a due diversi tappeti diversamente sistemati nelle stanze, di cui però uno con misure irrazionali non definibili e dunque non accettabili ai fini pratici del quesito, così come formulati, anche se matematicamente valide:

a = 4
b = 10
c = 40
d = 34
x= 45.1774279923061
y= 35.4400902933387

a = 14
b = 7
c = 30
d = 15
x= 50
y= 25

a = 24
b = 48
c = 20
d = 40
x= 25
y= 50

a = 34
b = 45
c = 10
d = 21
x= 35.4400902933387
y= 45.1774279923061

Cancello e non riporto la routine da cui risultano i valori di cui sopra, avendone elaborata altra che tiene conto del problema pratico di Alì, ritenendo cioè utile l'eliminazione dei due risultati irrazionali.

Quindi, viene presa in considerazione l'equazione

3) 110*b+100*c-76*a-110*d= 1056

derivata dal sistema di equazioni 1) e 2), considerando poi che le misure del tappeto devono essere le stesse in ambedue le stanze e tenuto conto del fatto che il Tizio deve pervenire all'acquisizione di misure come quelle che avrebbe potuto leggere sul suo "piedometro" se ne avesse avuto la disponibilità.

Quindi rivedendo il tutto, sono giunto a questa ultima versione della routine:

FOR a=1 TO 37
FOR b=1 TO 54
FOR c=1 TO 49
FOR d=1 TO 54
LET n=110*b+100*c-76*a-110*d
LET dif1=ABS(n-1056)
IF dif1=0 THEN
LET x1=SQR((55-b)^2+a^2)
LET x2=SQR((55-d)^2+c^2)
LET y1=SQR((38-a)^2+b^2)
LET y2=SQR((50-c)^2+d^2)
IF x1=x2 AND y1=y2 THEN
LET x=x1
LET y=y1
IF x=INT(x) AND y=INT(y) THEN
PRINT "a =";a
PRINT "b =";b
PRINT "c =";c
PRINT "d =";d
PRINT "x=";x
PRINT "y=";y
PRINT
END IF
END if
END IF
NEXT D
NEXT C
NEXT B
NEXT A
END


I risultati sono:

a = 14
b = 7
c = 30
d = 15
x= 50
y= 25

a = 24
b = 48
c = 20
d = 40
x= 25
y= 50


cioè 2 risultati di diverso posizionamento dello stesso tappeto nelle due stanze, ma con le stesse misure per quanto riguarda x ed y, conformi a quanto già annunciato dal grande Panurgo, che ringrazio per avermi consentito di rivedere la questione.
Un dubbio che mi resta è il seguente: Alì, che non aveva un "piedometro", possedeva un p.c. ? Lo chiedo, perché in caso negativo necessita studiare un altro approccio per la soluzione del quesito.
L'altro riguarda lo studio dei radicandi riportati inizialmente più sopra e nella routine, circa la certezza che non esistano altri quadrati perfetti, pur se non interi, che avrebbero potuto essere generati da valori non interi di a,b,c o d. Questo meriterebbe forse un approfondimento.

Credo che manchi la richiesta che il tappeto debba misurare un numero intero di piedi.

Con questa limitazione $\left\{a, 55-b, x\right\}$ e $\left\{b, 38-a, y\right\}$ da una parte e $\left\{c, 55-d, x\right\}$ e $\left\{d, 50-c, y\right\}$ dall'altra devono essere terne pitagoriche.
Con questa ricetta basta trovare un numero il cui quadrato sia esprimibile come somma di due quadrati in due modi diversi per poter costruire due stanze diverse intorno ad uno stesso tappeto. Oppure trovare il tappeto che si adatta a tre stanze da $122 \times 145$, $110 \times 145$ e $95 \times 142$ (questa volta le misure sono in pollici)

Intendiamoci! Non volevo dire che il problema fosse risolubile solo per numeri interi: solamente io lo risolto a partire da lì.

Poi sono andato avanti: per essere più sistematico propongo una revisione della nomenclatura: indichiamo con $l$ il lato corto e con $k\,l$ il lato lungo del tappeto; $a$ e $b$ siano rispettivamente il lato corto e il lato lungo della stanza.
Dato che sia il tappeto sia la stanza sono dei rettangoli, la parte scoperta del pavimento è formata da triangoli rettangoli a due a due congruenti e simili: sia $a_l=x$ la proiezione del lato corto su $a$, $a_{kl}=a-x$ la proiezione del lato lungo su $a$; analogamente siano $b_{kl}=k\,x$ e $b_l=b-k\,x$ le proeizioni su $b$ dei lati lungo e corto del tappeto, rispettivamente.

I triangoli contigui sono simili per cui possiamo scrivere

$\displaystyle\frac{k\,x}x=\frac{a-x}{b-k\,x}$

da cui segue

$x=\displaystyle\frac{k\,b-a}{k^2-1}$

Il lato corto del tappeto vale, per il teorema di Pitagora

$\displaystyle l^2=x^2+\left(b-k\,x\right)^2$

con

$\displaystyle b-k\,x=\frac{k\,a-b}{k^2-1}$

ovvero

$\displaystyle l^2=\frac{\left(k\,b-a\right)^2+\left(k\,a-b\right)^2}{\left(k^2-1\right)^2}$

Ora, i lati del tappeto sono gli stessi, $k$ è lo stesso e siano $a^\prime,b^\prime$ i lati della seconda stanza: abbiamo, ovviamente,

$\displaystyle \frac{\left(k\,b-a\right)^2+\left(k\,a-b\right)^2}{\left(k^2-1\right)^2}=\frac{\left(k\,b^\prime-a^\prime \right)^2+\left(k\,a^\prime -b^\prime \right)^2}{\left(k^2-1\right)^2}$

cioè

$\displaystyle \left(k\,b-a\right)^2+\left(k\,a-b\right)^2-\left(k\,b^\prime-a^\prime \right)^2-\left(k\,a^\prime -b^\prime \right)^2=0 \\
\left(a^2+b^2-a^{\prime2}-b^{\prime2}\right)k^2-4\left(a\,b-a^\prime\,b^\prime\right)k+\left(a^2+b^2-a^{\prime2}-b^{\prime2}\right)=0$

Poniamo

$\displaystyle \beta=\frac{a\,b-a^\prime b^\prime}{\left(a^2+b^2\right)- \left(a^{\prime2}+b^{\prime2}\right)}$

(osserviamo che $a\,b$ e $a^2+b^2$ sono rispettivamente l’area della prima stanza e il quadrato della sua diagonale: le due stanze devono avere diagonale e area diverse) e $k$ è una delle due soluzioni dell’equazione

$\displaystyle k^2-4\beta\,k+1=0$

cioè

$\displaystyle k_{1,2}=2\beta\pm\sqrt{4\beta^2-1}$

osserviamo subito che è $k_1\,k_2=1$ con $k_1>k_2$: scegliamo $k_1$ perché $l$ è il lato corto del tappeto; $k_2$ sarebbe la soluzione corretta se avessimo scelto di considerare il lato lungo.

Con i dati del nostro problema otteniamo $k=2$, $l=25$ ecc.

Bellissimo lavoro..........una vera opera d'arte!

Mi inchino a Panurgo e Pasquale per le soluzioni davvero belle e generali.
Siccome il problema mi è piaciuto molto, vorrei dare anch'io la mia soluzione vergognosamente elementare e particolare, perché funziona rapidamente solo con i particolari dati del problema.
a) Do per buono il sospetto che il problema abbia una soluzione nei numeri naturali.
b) Vado su BASE Cinque e mi faccio stampare tutte le terne pitagoriche con ipotenusa minore o uguale di 55.
5, 4, 3
10, 8, 6
13, 12, 5
15, 12, 9
17, 15, 8
20, 16, 12
25, 20, 15
25, 24, 7
26, 24, 10
29, 21, 20
30, 24, 18
34, 30, 16
35, 28, 21
37, 35, 12
39, 36, 15
40, 32, 24
41, 40, 9
45, 36, 27
50, 40, 30
50, 48, 14
51, 45, 24
52, 48, 20
53, 45, 28
55, 44, 33
c) Una rapida occhiata mi rivela che le uniche ipotenuse "doppie" sono 25 e 50.
d) Congetturo che i lati del tappeto siano 25 e 50.
e) Uso il disegno di Pasquale per verificare mentalmente la congettura. Verificata! Buona notte a tutti!

Anche questo è un modo di procedere, che rappresenta una sintesi nell'approccio al quesito (d'altra parte, anche Panurgo aveva accennato alle terne).
Man mano che si procede, tutto si semplifica sempre più e stanotte ne ho avuto una incredibile conferma: svegliandomi di soprassalto, lo sguardo si è soffermato sull'orario disegnato in rosso sul soffitto, proiettato dalla mia sveglia; stranamente in quel momento leggevo 1:50, realizzando che fossero le 25:50, perché 24+1=25.
Mi sono felicemente riaddormentato, o forse era tutto soltanto un sogno, ma ricordo di aver inteso la cosa come la soluzione al nostro quesito (facile, senza disegni e col massimo della sintesi).
A questo punto non resta che ringraziare 0-§ per il quesito proposto e chissà che non abbia da proporci come soluzione qualcosa di diverso.

Alcune osservazioni:

dal procedimento di Gianfranco e facendo riferimento ai ripetuti disegni, si può osservare "ad occhio" che le misure del tappeto, così come quelle delle due stanze, sono le più piccole possibili che consentono di adottare le operazioni poste in atto da Alì.

Ora, considerando uno dei due casi con misure espresse in piedi, come ad esempio quello del nostro tappeto da 25x50 sistemato nella stanza più piccola da 38x55, notiamo che alla soluzione del quesito hanno contribuito le terne 7, 24, 25 e 14, 48, 50.
Ebbene, convertendo il piede internazionale in 30,48 cm, nella stessa stanza abbiamo le seguenti terne espresse in centimetri:

213,36 - 731,52 - 762 e 426,72 - 1463,04 - 1524

Osserviamo che

$213,36^2 + 731,52^2 = 580644 cm^2$, mentre

$426,72^2+1463,04^2 = 2322576 cm^2$

Torniamo ai piedi:

$580644/30,48^2 = 625$, la cui radice è 25;

$2322576/30,48^2=2500$, la cui radice è 50 e tutto torna.

In definitiva, se Al-ì si fosse chiamato Al-do ed a lui avessero interessato delle misure nel nostro sistema metrico, lasciando inalterate le dimensioni reali di stanze e tappeto, avremmo avuto bisogno di una stanza da 1158,24 x 1676,4, mentre le terne in gioco avrebbero contenuto anche numeri decimali, più difficoltosi da individuare.
Diverso sarebbe stato il caso della formulazione del quesito sin dall'inizio in metri, centimetri o altro, che avrebbe condotto agli stessi valori numerici interi trovati precedentemente, perché chi comanda sono sempre le terne pitagoriche che individuano sia le misure dl tappeto, sia quelle delle due stanze.
Il quesito infatti avrebbe potuto riguardare stanze e tappeto, facendo però riferimento al più piccolo tappeto possibile con valori interi da individuare con quel procedimento.
Così mi par che sia, sogni a parte.