BASE CINQUE FORUM

Questo è un problema ispirato da nientepopodimenoché Srinivasa Ramanujan .
...
In una strada ci sono alcune case (da 50 a 500) allineate e numerate 1, 2, 3, 4, ... consecutivamente.
Fra queste case ce n'è una tale che la somma di tutti i numeri delle case che la precedono è uguale alla somma di tutti i numeri delle case che la seguono.
Qual è il numero di questa casa?
...
Fonte: Three Puzzles Inspired by Ramanujan. Insights from the mathematical genius Srinivasa Ramanujan give us a number of ways to explore the infinite.
di Pradeep Mutalik
QUANTA Magazine (https://www.quantamagazine.org/20160714 ... ramanujan/)
...
Allego la versione originale in inglese. ...
P.S. Ho postato questo problema (come altri) anche sul mio profilo su GoolePlus, con un link a questo Forum.

Se non ho sbagliato i conti la casa dovrebbe essere al numero $x = 204$.

Se $y$ è il numero totale delle case compreso fra 50 e 500, 204 è l'unico valore intero per cui $2x^2 = y^2 + y$
(Le case sono 288 in tutto).

ciao

OK, Franco, usando la tua equazione si trova:
$\Large y=\frac{-1 \pm \sqr{1+8x^2}}{2}$
che si può usare per trovare rapidamente le successive soluzioni di questo problema.
Ecco le prime 15:
La quarta colonna intestata r contiene il rapporto fra la x di quella riga e la x della riga precedente.
num - x - y - r
1 - 1 1 -
2 - 6 8 r = 6
3 - 35 49 r = 5.83333333333333
4 - 204 288 r = 5.82857142857143
5 - 1189 1681 r = 5.82843137254902
6 - 6930 9800 r = 5.82842724978974
7 - 40391 57121 r = 5.82842712842713
8 - 235416 332928 r = 5.82842712485455
9 - 1372105 1940449 r = 5.82842712474938
10 - 7997214 11309768 r = 5.82842712474628
11 - 46611179 65918161 r = 5.82842712474619
12 - 271669860 384199200 r = 5.82842712474619
13 - 1583407981 2239277041 r = 5.82842712474619
14 - 9228778026 13051463048 r = 5.82842712474619
15 - 53789260175 76069501249 r = 5.82842712474619
16 - 313506783024 443365544448 r = 5.82842712474619

Tale rapporto sembra tendere al numero 5.82842712474619...
Ci tende veramente?
Che numero è?

Passando per Binet, la colonna delle $\,x\,$ può essere fornita dalla formula:

$\frac {1}{4 \cdot sqrt {2}} \,\cdot\, \left((1+\sqrt 2 )^{2n}\, -\,(1-\sqrt 2)^{2n}\right)\,,$

mentre per quella delle $\,y\,$ si trova:

$\frac{1}{4}\, \cdot \,\left((1+\sqrt 2 )^{2n}\, +\, (1-\sqrt 2)^{2n} \,-\, 2\right)\,.$

Gianfranco ha scritto:Ci tende veramente?

Sì. Questo vale anche per i valori delle $\,y$.

Gianfranco ha scritto:Che numero è?

$\left(1\,+\,\sqrt 2\right)^2.$