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La divisione tra un numero naturale N qualsiasi e un numero primo p, diverso da 2 e da 5 e tale che N non sia un suo multiplo, genera un quoziente decimale periodico semplice con un definito numero P di cifre nel periodo
come da allegata tabella (i valori di P sono stati ricavati con Wolfram alpha) limitatamente ai primi 80 numeri primi.
p P
2 0
3 1
5 0
7 6
11 2
13 6
17 16
19 18
23 22
29 28
31 15
37 3
41 5
43 21
47 46
53 13
59 58
61 60
71 35
73 8
79 13
83 41
89 44
97 96
101 4
103 34
107 53
109 108
113 112
127 42
131 130
137 8
139 46
149 148
151 75
157 78
163 81
167 166
173 43
179 178
181 180
191 95
193 192
197 98
199 99
211 30
223 222
227 113
229 228
233 232
239 7
241 30
251 50
257 256
263 262
269 268
271 5
277 69
281 28
283 141
293 146
307 153
311 155
313 312
317 79
331 110
337 336
347 173
349 116
353 32
359 179
367 366
373 186
379 378
383 382
389 388
397 99
401 200
409 204
419 418
Interessante osservare che spesso (ma sono i "capricci" dei numeri primi) P=p-1. Non trovo ciclicità per il ritorno di questa proprietà. Osservo invece che in ogni caso la somma delle cifre del periodo è 9: perché?

Benvenuto warius!
Abbozzo una risposta telegrafica ed elementare.
Parto da un caso particolare di numero primo che genera un numero ciclico e tento una generalizzazione.
Prendiamo il caso di p=23.
Dividendo un numero n (non multiplo di 23) per 23 e procedendo nella divisione (con l'algoritmo delle scuole elementari) otterremo via via 22 resti parziali che saranno tutti i numeri interi da 1 a 22, in un ordine particolare.
Ad ogni resto parziale, per andare avanti, aggiungeremo uno 0 e divideremo il numero ottenuto per 23 etc.
Ecco tutte le situazioni che ci capiteranno, disposte in ordine crescente (divisioni in N):
10:23 = 0
20:23 = 0
30:23 = 1
40:23 = 1
50:23 = 2
60:23 = 2
70:23 = 3
80:23 = 3
90:23 = 3
100:23 = 4
110:23 = 4
120:23 = 5
130:23 = 5
140:23 = 6
150:23 = 6
160:23 = 6
170:23 = 7
180:23 = 7
190:23 = 8
200:23 = 8
210:23 = 9
220:23 = 9

Si nota subito che nei risultati per ogni 0 c'è un 9, per ogni 1 c'è un 8 etc.
Quindi addizionando tutti i risultati si otterrà un multiplo di 9.

Ma perché avviene ciò, e come si può generalizzare questo risultato?

I resti parziali sono in numero pari.
Si possono quindi dividere in due gruppi come descritto qui sotto:

10:23 = 0
20:23 = 0
30:23 = 1
40:23 = 1
50:23 = 2
60:23 = 2
70:23 = 3
80:23 = 3
90:23 = 3
100:23 = 4
110:23 = 4
120:23 = (230-110):23 = 5
130:23 = (230-100):23 = 5
140:23 = (230-90):23 = 6
150:23 = (230-80):23 = 6
160:23 = (230-70):23 = 6
170:23 = (230-60):23 = 7
180:23 = (230-50):23 = 7
190:23 = (230-40):23 = 8
200:23 = (230-30):23 = 8
210:23 = (230-20):23 = 9
220:23 = (230-10):23 = 9

Consideriamo ancora un esempio e usiamo la simbologia INT(x) per indicare la parte intera di x:

INT(50 : 23) = 2
INT((230 - 50) : 23) = INT(10 - 50 : 23) = 10 - 2 - 1 = 9 - 2 = 7

In generale: con p=numero primo che genera un numero ciclico e n<p

Se INT(10n : p) = k

allora INT((10p - 10n) : p) = INT(10 - 10n : p) = 10 - k - 1

Addizionando i due numeri si ottiene:
k + 10 - k - 1 = 9

SAC (stento a crederci)

P.S. 1 : 23 = 0,0434782608695652173913

Grazie Gianfranco e pace e bene a te

Il periodo $q$ dell'inverso di un numero primo $p$ è dato da:

$ q=\frac{r}{p}$ dove $r = 10^n-1$ e $n$ è la lunghezza del periodo.

Possiamo quindi scrivere

$r=9 \, \sum_{k=0}^{n-1}10^n = 9 \cdot \underbrace{1...1}_{n} = 9 \cdot x \cdot p$ ; $q=\frac{r}{p} = 9 \cdot x$

$r$ è multiplo di $p$ in quanto $q$ è intero, di conseguenza $q$ è multiplo di 9

Esempio:
$\frac{1}{7} = 0,\overline{142857}$
$142857 = \frac{999999}{7} = \frac{9 \cdot 111111}{7} = \frac{9 \cdot 15873 \cdot 7}{7} = 9 \cdot 15873$