congettura sulle terne pitagoriche

[Pasquale]

Ove il seguente argomento non sia stato già studiato, noto e trattato (non lo so), in tal caso e solo in tal caso, provare a dimostrare o confutare quella che qui di seguito potrebbe essere definita come una "congettura di Pasquale" :


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(Data una terna pitagorica qualsiasi con a < b < c interi, escluso a=4, risulta sempre vero che, per n < m interi:)
Mi scuso, ma devo riformulare la premessa in parentesi che, considerata l'ora della sua estensione, mi pare proprio che sia un po' confusa. Dunque, meglio come appresso:

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Indicando con a<b<c una generica terna pitagorica, è sempre vero che:

se a=2n+1, allora esistono un b ed un c tali che b=2m e c=2m+1

se a=2n, allora esistono un b ed un c tali che b=2m e c=2m+2, oppure b=2m+1 e c=2m+3, secondo che per a=2(n-1) siano rispettivamente b=2m-1 o b=2m

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Esempio terne:

con a dispari
099, 4900, 4901

con a pari
096, 2303, 2305
098, 2400, 2402
100, 2499, 2501

Aggiungo che, a parte la facile dimostrabilità che non può esistere una terna per a=1, 2 o 4, quanto sopra sta a significare in sintesi che per qualsiasi altro a è sempre possibile indicare una terna pitagorica della tipologia indicata, differenziata per a pari ed a dispari; nel senso che quei tipi di terne esistono sempre, con questo non escludendosi la possibilità dell'esistenza di altre terne per lo stesso a.
In questo senso ho parlato di congettura, perché l'enunciato è solo frutto dell'osservazione di una certa quantità di terne certamente esistenti, in quanto tirate fuori dal computer, tramite un semplicissimo algoritmo.

[Alessandro]

Ciao Pasquale,

con n dispari, la terna è: n, (n²-1)/2, (n²+1)/2

con n pari, la terna è: n, (n²/2)-1, (n²/2)+1


infatti: n² + [(n²-1)/2]² = [(n²+1)/2]² (con n dispari)

e n² + [(n²/2)-1]² = [(n²/2)+1]² (con n pari)


Alessandro

[Pasquale]

Salve anche a te Alessandro.
Si, va bene; hai usato una simbologia più semplice e sei andato oltre, nel senso che hai cercato i valori di b e c, dato un a, però hai commesso un errore per quanto riguarda il caso di a pari, in quanto l'equivalenza riportata non torna (ti è sfuggito un doppio prodotto nei calcoli).

Per quanto mi riguarda, io invece finora ho detto soltanto che sulla base di un a è sempre possibile costruire una terna particolare in cui b e c differiscono fra loro di 1 unità, oppure di 2 unità, secondo che a sia dispari o pari, con la particolarità in aggiunta che se a è dispari, saranno sempre b pari e c naturalmente dispari, mentre se a è pari, b e c potranno essere ambedue pari oppure dispari, in modo alternativo, man mano che ad a si attribuiscono valori pari consecutivi.
Tutto questo è detto tramite la simbologia utilizzata.
Ad ogni buon fine, anch'io mi son messo oggi al lavoro con lo stesso tuo scopo, per dare un valore al mio m, una volta dato a, ed al momento mi son fermato agli a dispari.

Nella premessa ho detto che per a=2n+1 esiste un b= 2m ed un c=2m+1; se è vero deve essere:

$\text (2n+1)^2 + (2m)^2 = (2m+1)^2; 4n^2+4n+1+4m^2 = 4m^2+4m+1; da cui: m=n^2+n = n(n+1)$

e quindi, sostituendo m in b e c, la terna deve essere: a=2n+1; b=2n(n+1); c=2n(n+1)+1

Resta da verificare se è vero, se cioè è:

$(2n+1)^2 + [2n(n+1)]^2 = [2n(n+1)+1]^2$

$4n^2+4n+1+4n^2(n+1)^2 = 4n^2(n+1)^2 + 4n(n-1) +1$

$4n^2 + 4n +1 = 4n^2 + 4n +1$

è vero e dunque, se per ogni a=2n+1 (a parte le esclusioni dette), sono sempre veri $\text b=2n(n+1); c=2n(n+1)+1$, allora è anche dimostrata la "congettura", al momento solo per a dispari.

Notiamo pure che:

se n=0, a=1, b=0 e c=1 (non esiste terna per a=1)

[Pasquale]

Allora, terminato lo studio della congettura, ne semplifico e riformulo l'enunciato e passo a dimostrane la veridicità anche per il caso in cui risulti a pari, ricordando che la congettura è stata definita come tale nei suoi vari aspetti, per il fatto che è stata dedotta dalla semplice osservazione di una certa quantità ti terne pitagoriche consecutive, scaturite da un piccolo algoritmo di calcolo, a partire dalla iniziale 3,4,5.

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Indicando con a<b<c, interi e positivi, una generica terna pitagorica, asserisco che :

1) Se a=2n+1, ovvero se a è dispari, allora unitamente ad un b=2m ed un c=2m+1, realizza una terna pitagorica
2) Se a=4n, ovvero se a è pari e multiplo di 4, allora unitamente ad un b=2m+1 ed un c=2m+3, realizza una terna pitagorica
3) Se a=2(2n+1), ovvero se a è pari, ma non multiplo di 4, allora unitamente ad un b=2m ed un c=2m+2, realizza una terna pitagorica

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L'enunciato, così come formulato, contempla dunque la possibilità di costruire una particolare terna pitagorica, a partire da qualsiasi a, pari o dispari che sia, esclusi i valori 1, 2 e 4, come vedremo in seguito.
Vediamo adesso se l'enunciato dice il vero e quali sono queste terne.

Rifacendomi al procedimento già adottato per il caso 1), che per completezza di esposizione ripropongo, diciamo dunque che:

Se è vero quanto enunciato ai punti 1), 2) e 3), in tutti i tre casi deve essere:

$\text a^2 + b^2 = c^2$

ovvero:

1)$\text (2n+1)^2 + (2m)^2 = (2m+1)^2$, da cui: $m = n(n+1)$
2)$\text (4n)^2 + (2m+1)^2 = (2m+3)^2$, da cui: $m = 2n^2-1$
3)$\text [2(2n+1)]^2 + (2m)^2 = (2m+2)^2$, da cui: $m = 2n(n+1)$

Con i suddetti valori di m, possiamo ora esprimere i 3 enunciati tutti in funzione di n con i seguenti valori:

1) $\text a=2n+1; b=2n(n+1); c=2n(n+1)+1$
2) $\text a=4n; b=2(2n^2-1)+1; c=2(2n^2-1)+3$
3) $\text a=2(2n+1); b=4n(n+1); c=4n(n+1)+2$

In tutti i tre casi verifichiamo che $a^2 + b^2 = c^2$ e con questo viene dimostrata la veridicità della congettura per qualsiasi terna costruita con i valori di cui sopra e con le relazioni fra a, b e c di cui sopra, dalle quali ultime si deduce anche l'impossibilità di costruire delle terne con valori di a uguali ad 1, 2 o 4.

Infatti:
dalla 1) a=1 se n=0, ma in questo caso b=0 (non accettabile)
dalla 2) a=4 se n=1, ma in tale caso b=3 (non accettabile)
dalla 3) a=2 se n=0, ma sarebbe poi b=0 (non accettabile)

Tenuto dunque conto delle esclusioni di cui sopra, il tutto ci torna utile per la costruzione di queste terne particolari, dato un qualsiasi altro a, utilizzando di volta in volta fra le 3 relazioni di cui sopra quella più appropriata, cioè quella di cui alla 1), se a è dispari; quella di cui alla 2), se a è multiplo di 4; quella di cui al punto 3), se a è pari, ma non multiplo di 4.
Ci conviene però semplificare le relazioni fra a, b e c, esprimendole in altro modo:

Nella 1) poniamo 2n+1=k, da cui $n=\frac {k-1}{2}$ e da cui:
$\text { a=k; b=\frac{k^2-1}{2}; c=\frac{k^2+1}{2}}$ (ricordandosi che la relazione è valida per a dispari)
Nella 2) poniamo 4n=k, da cui $n=\frac{k}{4}$ e da cui:
$\text { a=k; b=\frac{k^2}{4}-1; c=\frac{k^2}{4}+1}$ (ricordandosi che la relazione è valida per a multiplo di 4)
Nella 3) poniamo 2(2n+1)=k, da cui $n=\frac{k-2}{4}$ e da cui:
$\text { a=k; b=\frac{k^2}{4}-k+5; c=\frac{k^2}{4}-k+7}$ (ricordandosi che la relazione è valida per a pari, non multiplo di 4)

Spero di non aver sbagliato a copiare dalla brutta, ma facciamo per completare qualche esempio:

se a=3, applicando la 1), ottengo: a=3; b=4; c=5
se a=6, applicando la 3), ottengo: a=6; b=8; c=10
se a=8, applicando la 2), ottengo: a=8; b=15; c=17

Per completezza aggiungo che, dato un a, può darsi che vi siano più terne valide, ma certamente quella ricavata da una delle 3 relazioni di cui sopra (quella più appropriata in base al valore di a) esiste sempre e non manca mai all'appuntamento.

Ultimo esempio:

a=98765431901234568, costituisce terna con b= 2438652634659350723365340639536655 e c= 2438652634659350723365340639536657

Infatti:

$a^2+b^2 = 5947026672530992712964129966229024223982104138803075543895646735649$
$\text{. c^2=5947026672530992712964129966229024223982104138803075543895646735649}$

Aggiungo infine un piccolo programma di calcolo in Decimal Basic, che può esprimere numeri validi fino a 1000 cifre, selezionando l'apposito pulsante:

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!'Costruzione di una terna pitagorica a<b<c interi, dato il valore di 'a'
!'Predisponi il calcolo per la doppia precisione

10 INPUT PROMPT "Inserisci un valore intero per 'a' -> ":a
IF a<3 OR a=4 THEN
PRINT "Non esiste una terna con il valore inserito"
GOTO 10
END IF
PRINT
PRINT

IF MOD(a,2)=1 THEN
LET b=(a^2-1)/2
LET c=(a^2+1)/2
ELSEIF MOD(a,4)=0 THEN
LET b=a^2/4-1
LET c=a^2/4+1
ELSE
LET b=a^2/4-a+5
LET c=a^2/4-a+7
END IF

PRINT "a =";a
PRINT "b =";b
PRINT "c =";c

END
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[Pasquale]

Dimenticavo:

da notare che fra le ultime relazioni semplificate, la 1) corrisponde a quella di Alessandro per il caso di a dispari.

Lo studio precedente si traduce nella risoluzione del seguente problema geometrico:
dato il valore intero del cateto minore di un triangolo rettangolo, escluse le misure 1, 2 e 4, costruire almeno un triangolo i cui lati abbiano tutti valori interi.

[Bruno]

Ottimo lavoro, Pasquale

Quando ho letto un tuo post (che ora non riesco più a vedere) con cui ci annunciavi la conferma della tua "congettura", dicendo però che l'avresti trascritta solo dopo aver onorato alcune tue incombenze familiari , ho evitato di inserire la mia soluzione per non toglierti(ci) la soddisfazione di presentare i tuoi risultati.

Solo oggi riesco a tornare qui e ti scrivo brevemente la mia idea iniziale, tradotta in quattro identità.

Avevo pensato di considerare il cateto minore così: $\small \;a = 4\cdot n + r,\;$ con $\small \;r=0,1,2\,$ oppure $\small \,3,\;$ ottenendo:

$\small (4\cdot n+0)^2 + (\;[1]\cdot (4\cdot n^2+[0]\cdot 2\cdot n - 1 + [0])\;)^2 = (\;[1]\cdot (4\cdot n^2+[0]\cdot 2\cdot n - 1 + [0]) + [2]\;)^2$
$\small (4\cdot n+1)^2 + (\;[2]\cdot(4\cdot n^2+[1]\cdot 2\cdot n - 1 + [1])\;)^2 = (\;[2]\cdot (4\cdot n^2+[1]\cdot 2\cdot n - 1 + [1]) + [1]\;)^2$
$\small (4\cdot n+2)^2 + (\;[1]\cdot (4\cdot n^2+[2]\cdot 2\cdot n - 1 + [1])\;)^2 = (\;[1]\cdot (4\cdot n^2+[2]\cdot 2\cdot n - 1 + [1]) + [2]\;)^2$
$\small (4\cdot n+3)^2 + (\;[2]\cdot (4\cdot n^2+[3]\cdot 2\cdot n - 1 + [3])\;)^2 = (\;[2]\cdot (4\cdot n^2+[3]\cdot 2\cdot n - 1 + [3]) + [1]\;)^2\;$,

dove i valori fra parentesi quadre sono direttamente o facilmente riconducibili ai resti di $a$ rispetto a $4$.

In tal modo risulta "sdoppiato" anche il caso in cui $a$ è dispari.

Questa configurazione mi è sembrata carina e mi ha fatto venire in mente di considerare $\;a\;$ non soltanto $\mod 4\;$ ma anche $\mod 12\;$, per esempio.

Con un po' di pazienza ho creato questo specchietto:

a mod 12.jpg (95.01 KiB) Visto 12905 volte

il quale mostra, tra l'altro, che le identità con $\;a\;$ pari sono più numerose grazie alle quattro soluzioni iniziali, ma nel complesso possiamo apprezzare una certa armonia in questi risultati e qualche spunto di approfondimento.

Queste rappresentazioni provengono dai divisori di $\small \; 12\cdot n + r\;$ deducibili da tale sua forma. Fissati $\;n\;$ ed $\;r\;$, naturalmente, $\;a\;$ potrebbe ammettere ulteriori divisori da cui ottenere altri valori per $\;b\;$ e $\;c\;$.

Giusto per fare una veloce comparazione, se $\small \;a=2\cdot (6\cdot n+1)+1 = 12\cdot n +3,$ la tua soluzione fornisce:

$\small \;(12\cdot n +3)^2 + (36\cdot n\cdot (2\cdot n+1)+4)^2 = (36\cdot n\cdot (2\cdot n+1)+5)^2,$

cioè la settima identità tabellata, mentre la nona è:

$\small \;(12\cdot n +3)^2 + (4\cdot n\cdot (2\cdot n+1)-4)^2 = (4\cdot n\cdot (2\cdot n+1)+5)^2.$

Spero di non aver perso qualche pezzo per strada

Un caro saluto.

[Pasquale]

Ciao Bruno, era da un pezzetto che non mi facevo vedere, perché pare strano, ma di tempo ne resta sempre meno.
E' vero, avevo messo l'annuncio che ho poi cancellato, perché occupava spazio inutilmente, una volta postata la soluzione: l'avevo messa perché c'erano delle variazioni rispetto ai precedenti imprecisi interventi che sarebbe stato inutile rilevare prima della novità preannunciata. Poteva anche significare "un momento, state bboni, ché mo' vengo" e quindi mi è d'obbligo ringraziarti per il tuo gentil pensiero.
Sì, ognuno affronta gli ostacoli con i propri mezzi ed i tuoi sono sempre più potenti, come si dimostra dalla tua impostazione.
Anch'io ho notato la differenza c-b ed anzi è stata questa che mi ha dato l'idea da cui si è sviluppato il mio percorso, che a parte l'oggetto di studio, potrebbe intitolarsi "esempio di dimostrazione di una congettura", in quanto tale era inizialmente (magari, certamente queste cose saranno state già studiate chissà da quando e da quanti, anche se non ne sono al corrente per mia ignoranza). Da un punto di vista pratico si è trattato più che altro di un percorso logico, supportato da semplici strumenti matematici alla portata di ogni tasca.
A tal proposito avevo iniziato un ulteriore studio del "fenomeno" su questo argomento, avendo notato che la differenza minima c-b=1 appartiene alle terne con a dispari.
Ho anche notato che con a dispari b è sempre pari e c chiaramente sempre dispari, anche quando c-b>1, a differenza del caso a pari, che ha la differenza minima in c-b=2, con b e c ambedue sempre pari o dispari, come abbiamo visto.
In sostanza ho notato che con il crescere del valore a, la coppia b,c non è più unica e questo era già chiaro a prima vista, ma la particolarità sta nel fatto che una volta trovata ad esempio la terna con b-c=1 per a dispari (e questa si trova sempre), è possibile esplorare la possibilità che ve ne siano altre, essendo sufficiente sondare l'esistenza di coppie con lo stesso a e con b-c=3,5,7,9.....
Lo stesso dicasi per il caso di a pari per il quale è possibile trovare differenze b-c=2,4,6,8,10......., con b e c alternativamente pari, dispari, pari, dispari.....
In pratica la terna a,b,c con differenza b-c minima (1 o 2 secondo i casi) è il limite alto per b e c, oltre il quale non ci sono più terne con quel dato a, ma è possibile che ve ne siano con b e c di valore minore; quindi si tratta di terne in quantità finite.
Avrei dovuto quindi rimettere allo studio la questione, per giungere all'estensione di un altro algoritmo di ricerca, però mi sono fermato per necessità e sollecitazioni ad impiegare il mio tempo in modo diverso dalla ricerca di terne pitagoriche, ritendomi comunque soddisfatto del tempo dedicato a tale lavoro, che poi lavoro non è , ma soltanto un salutare hhhhhhhobby per la salute mentale W Base5!!!

[Bruno]

Benissimo, caro Pasquale, W BASE Cinque