Prendiamo $\/x\/$ e $\/y\/$ entrambi pari oppure dispari.
Qual è la più grande potenza di $\/2\/$ che divide
tutti gli interi con la forma $\large \/x^{\small 8}-y^{\small 8}\/$ ?
E perché ?
Spìdi
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Sancho Panza
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Se X e Y sono entrambi pari allora:
$x^8 - y^8$ è sicuramente divisibile per $2^8$
infatti essendo pari si può scriver X=2*M ed Y=2*N (con M ed N interi)
$x^8 - y^8 = 2^8 *m^8 - 2^8 *n^8 = 2^8 *\left( {m^8 - n^8 } \right)$
Se X e Y sono entrambi dispari allora:
$x^8 - y^8$ è sicuramente divisibile per 4
infatti $x^8 - y^8 = \left( {x - y} \right)*\left( {x^7 + x^6 y + x^5 y^2 + x^4 y^3 + x^3 y^4 + x^2 y^5 + xy^6 + y^7 } \right)$
il primo fattore è pari perché è la differenza di due numeri dispari,
il secondo fattore è pari perché è la somma di otto numeri dispari.
Il prodotto di due numeri pari è sempre divisibile per 4
$x^8 - y^8$ è sicuramente divisibile per $2^8$
infatti essendo pari si può scriver X=2*M ed Y=2*N (con M ed N interi)
$x^8 - y^8 = 2^8 *m^8 - 2^8 *n^8 = 2^8 *\left( {m^8 - n^8 } \right)$
Se X e Y sono entrambi dispari allora:
$x^8 - y^8$ è sicuramente divisibile per 4
infatti $x^8 - y^8 = \left( {x - y} \right)*\left( {x^7 + x^6 y + x^5 y^2 + x^4 y^3 + x^3 y^4 + x^2 y^5 + xy^6 + y^7 } \right)$
il primo fattore è pari perché è la differenza di due numeri dispari,
il secondo fattore è pari perché è la somma di otto numeri dispari.
Il prodotto di due numeri pari è sempre divisibile per 4
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Sancho Panza
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Sancho Panza
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Correggo la mia precedente risposta:
la più grande potenza di 2 che divide tutti gli interi che hanno questa forma è: 32
infatti:
Se X e Y sono entrambi dispari allora: $x^8 - y^8 = \left( {y + 2k} \right)^8 - y^8 = {\rm 16*y}^{\rm 7} {\rm *k + 112*y}^{\rm 6} {\rm *k}^{\rm 2} {\rm + 448*y}^{\rm 5} {\rm *k}^{\rm 3} {\rm + 1120*y}^{\rm 4} {\rm *k}^{\rm 4} {\rm + 1792*y}^{\rm 3} {\rm *k}^{\rm 5} {\rm + 1792*y}^{\rm 2} {\rm *k}^{\rm 6} {\rm + 1024*y*k}^{\rm 7} {\rm + 256*k}^{\rm 8}$
Ed essendo tutti gli 8 elementi della somma divisibili per 16, sicuramente la somma è divisibile per 16.
$x^8 - y^8 = {\rm 16*(y}^{\rm 7} {\rm *k + 7*y}^{\rm 6} {\rm *k}^{\rm 2} {\rm + 28*y}^{\rm 5} {\rm *k}^{\rm 3} {\rm + 70*y}^{\rm 4} {\rm *k}^{\rm 4} {\rm + 112*y}^{\rm 3} {\rm *k}^{\rm 5} {\rm + 112*y}^{\rm 2} {\rm *k}^{\rm 6} {\rm + 64*y*k}^{\rm 7} {\rm + 16*k}^{\rm 8} )$
Ottengo 16 moltiplicato per un numero che è sicuramente pari, in quanto è la somma di ${\rm k*y}^{\rm 6} {\rm *(y + 7k})$ + 6 termini pari.
Se y o k sono pari allora: ${\rm k*y}^{\rm 6} {\rm *(y + 7k})$ è pari
ed anche se sono entrambi dispari questo prodotto è pari, essendo pari (y + 7k)
Per cui ho che $x^8 - y^8$
è sicuramente divisibile per il doppio di 16 (cioè è sicuramente divisibile per 32)
Esempio:
$3^8 - 1^8 = 6560 = 32*205$
la più grande potenza di 2 che divide tutti gli interi che hanno questa forma è: 32
infatti:
Se X e Y sono entrambi dispari allora: $x^8 - y^8 = \left( {y + 2k} \right)^8 - y^8 = {\rm 16*y}^{\rm 7} {\rm *k + 112*y}^{\rm 6} {\rm *k}^{\rm 2} {\rm + 448*y}^{\rm 5} {\rm *k}^{\rm 3} {\rm + 1120*y}^{\rm 4} {\rm *k}^{\rm 4} {\rm + 1792*y}^{\rm 3} {\rm *k}^{\rm 5} {\rm + 1792*y}^{\rm 2} {\rm *k}^{\rm 6} {\rm + 1024*y*k}^{\rm 7} {\rm + 256*k}^{\rm 8}$
Ed essendo tutti gli 8 elementi della somma divisibili per 16, sicuramente la somma è divisibile per 16.
$x^8 - y^8 = {\rm 16*(y}^{\rm 7} {\rm *k + 7*y}^{\rm 6} {\rm *k}^{\rm 2} {\rm + 28*y}^{\rm 5} {\rm *k}^{\rm 3} {\rm + 70*y}^{\rm 4} {\rm *k}^{\rm 4} {\rm + 112*y}^{\rm 3} {\rm *k}^{\rm 5} {\rm + 112*y}^{\rm 2} {\rm *k}^{\rm 6} {\rm + 64*y*k}^{\rm 7} {\rm + 16*k}^{\rm 8} )$
Ottengo 16 moltiplicato per un numero che è sicuramente pari, in quanto è la somma di ${\rm k*y}^{\rm 6} {\rm *(y + 7k})$ + 6 termini pari.
Se y o k sono pari allora: ${\rm k*y}^{\rm 6} {\rm *(y + 7k})$ è pari
ed anche se sono entrambi dispari questo prodotto è pari, essendo pari (y + 7k)
Per cui ho che $x^8 - y^8$
è sicuramente divisibile per il doppio di 16 (cioè è sicuramente divisibile per 32)
Esempio:
$3^8 - 1^8 = 6560 = 32*205$
