Quali sono i triangoli che possono essere suddivisi
in tre triangoli simili a quello di partenza?
(Giustificare la risposta, naturalmente....)
Triangoli
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Sicuramente quelli rettangoli isosceli;
infatti tracciando l'altezza relativa all'ipotenusa in un triangolo rettangolo isoscele, lo dividiamo in due triangoli ancora rettangoli isosceli;
tracciando ora l'altezza relativa all'ipotenusa in uno dei due triangoli sopra ottenuti, otteniamo 3 triangoli rettangoli isosceli.
I triangoli rettangoli isosceli sono tutti simili perchè hanno 3 angoli uguali ($90^{\circ}$, $45^{\circ}$ e $45^{\circ}$).
Penso ci siano altri triangoli con tale proprietà, ma sono di fretta ...
Ciao
Admin
infatti tracciando l'altezza relativa all'ipotenusa in un triangolo rettangolo isoscele, lo dividiamo in due triangoli ancora rettangoli isosceli;
tracciando ora l'altezza relativa all'ipotenusa in uno dei due triangoli sopra ottenuti, otteniamo 3 triangoli rettangoli isosceli.
I triangoli rettangoli isosceli sono tutti simili perchè hanno 3 angoli uguali ($90^{\circ}$, $45^{\circ}$ e $45^{\circ}$).
Penso ci siano altri triangoli con tale proprietà, ma sono di fretta ...
Ciao
Admin
Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi" Paul Erdös
www.pvitelli.net
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi" Paul Erdös
www.pvitelli.net
Un triangolo può essere diviso in tre scegliendo un punto interno al triangolo e congiungendolo con i vertici come in figura
In questo modo però, i triangoli che si ottengono non possono essere simili al triangolo di partenza in quanto gli angoli ai vertici sono sicuramente minori e il terzo angolo è sicuramente maggiore.
Di conseguenza, il punto $\text P$ deve essere scelto su uno dei lati
In figura, il segmento $\overline {{\text PP}^{\prime}}$ è tracciato parallelo a $b$ dimodoché il triangolo ${\text APP}^{\prime}$ risulti simile al triangolo di partenza: il triangolo ${\text BPP}^{\prime}$ è necessariamente ottusangolo (l'angolo ${\text AP}^{\prime}{\text P}$ è acuto) e quindi non è possibile dividere un triangolo acutangolo in tre triangoli acutangoli!
Lo stesso discorso vale, mutatis mutandis, per un triangolo ottusangolo
il triangolo ${\text BPP}^{\prime}$ è necessariamente acutangolo (l'angolo ${\text AP}^{\prime}{\text P}$ è ottuso) e quindi non è possibile dividere un triangolo ottusangolo in tre triangoli ottusangoli!
Quando il triangolo è rettangolo, invece,
la suddivisione è possibile: il triangolo ${\text BPP}^{\prime}$ è necessariamente rettangolo perché l'angolo ${\text AP}^{\prime}{\text P}$ è retto: in realtà, è possibile suddividere il triangolo in infiniti triangoli simili all'originale
In questo modo però, i triangoli che si ottengono non possono essere simili al triangolo di partenza in quanto gli angoli ai vertici sono sicuramente minori e il terzo angolo è sicuramente maggiore.
Di conseguenza, il punto $\text P$ deve essere scelto su uno dei lati
In figura, il segmento $\overline {{\text PP}^{\prime}}$ è tracciato parallelo a $b$ dimodoché il triangolo ${\text APP}^{\prime}$ risulti simile al triangolo di partenza: il triangolo ${\text BPP}^{\prime}$ è necessariamente ottusangolo (l'angolo ${\text AP}^{\prime}{\text P}$ è acuto) e quindi non è possibile dividere un triangolo acutangolo in tre triangoli acutangoli!
Lo stesso discorso vale, mutatis mutandis, per un triangolo ottusangolo
il triangolo ${\text BPP}^{\prime}$ è necessariamente acutangolo (l'angolo ${\text AP}^{\prime}{\text P}$ è ottuso) e quindi non è possibile dividere un triangolo ottusangolo in tre triangoli ottusangoli!
Quando il triangolo è rettangolo, invece,
la suddivisione è possibile: il triangolo ${\text BPP}^{\prime}$ è necessariamente rettangolo perché l'angolo ${\text AP}^{\prime}{\text P}$ è retto: in realtà, è possibile suddividere il triangolo in infiniti triangoli simili all'originale
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
spero che a qualcuno interessi cosa è frullato nella mia testa quando mi sono messo a studiare il problema. (al momento di postare, ho trovato il compito già fatto ! )
Come primo candidato ho preso, d'istinto, il rettangolo isoscele, ma il primo taglio l'ho condotto parallelamente ad un cateto, passando per punto medio dell'ipotenusa, e ripetendo con il secondo cateto. A questo punto ho diviso a metà con una diagonale il quadrato risultante, appoggiato all'angolo retto. La cosa buffa è che ho tracciato la diagonale parallela all'ipotenusa ottenendo quattro triangoli. A questo punto ho considerato "risolto" il quesito, dato che non veniva precisato che i triangolini dovessere essere "tre soltanto tre e non più di tre".
Solo in un secondo tempo mi è venuta l'idea che a Pietro è venuta per prima, cioè di tracciare l'altra diagonale, ovvero l'altezza relativa all'ipotenusa....
Come primo candidato ho preso, d'istinto, il rettangolo isoscele, ma il primo taglio l'ho condotto parallelamente ad un cateto, passando per punto medio dell'ipotenusa, e ripetendo con il secondo cateto. A questo punto ho diviso a metà con una diagonale il quadrato risultante, appoggiato all'angolo retto. La cosa buffa è che ho tracciato la diagonale parallela all'ipotenusa ottenendo quattro triangoli. A questo punto ho considerato "risolto" il quesito, dato che non veniva precisato che i triangolini dovessere essere "tre soltanto tre e non più di tre".
Solo in un secondo tempo mi è venuta l'idea che a Pietro è venuta per prima, cioè di tracciare l'altra diagonale, ovvero l'altezza relativa all'ipotenusa....
Enrico
Ottimo Panurgo!
Contento anche di rileggerti
Certo, Enrico, che interessa la tua idea: molto
prolifica, inoltre!
Il tuo triangolo rettangolo isoscele, così, l'hai
riempito ben bene di triangolini simili!
Comunque, sì: la suddivisione era implicitamente
riferita a tre, esattamente tre triangoli simili,
altrimenti avrei scritto un almeno
(Ps - Enrico, ti ho scritto un messaggio in privato.)
Anch'io ho distinto la spiegazione del risultato in
due casi, come ha fatto Guido: per la prima parte,
quella che ritaglia i tre triangolini a partire da un
punto interno, naturalmente faccio lo stesso
discorso; mentre nella seconda parte ho preso un
triangolo generico, l'ho arbitrariamente diviso in
tre triangoli più piccoli e ho fatto una serie di
semplici e veloci deduzioni sui vari angoli risultanti.
Ho provato a "ricopiare in bella" i due scarabocchi
che ho disegnato, ma il tempo non mi basta.
Quindi ne allego il ipg, dove mi sembra che la
sequenza deduttiva sia comunque abbastanza
chiara (chiaro: salvo sviste!).
Contento anche di rileggerti
Certo, Enrico, che interessa la tua idea: molto
prolifica, inoltre!
Il tuo triangolo rettangolo isoscele, così, l'hai
riempito ben bene di triangolini simili!
Comunque, sì: la suddivisione era implicitamente
riferita a tre, esattamente tre triangoli simili,
altrimenti avrei scritto un almeno
(Ps - Enrico, ti ho scritto un messaggio in privato.)
Anch'io ho distinto la spiegazione del risultato in
due casi, come ha fatto Guido: per la prima parte,
quella che ritaglia i tre triangolini a partire da un
punto interno, naturalmente faccio lo stesso
discorso; mentre nella seconda parte ho preso un
triangolo generico, l'ho arbitrariamente diviso in
tre triangoli più piccoli e ho fatto una serie di
semplici e veloci deduzioni sui vari angoli risultanti.
Ho provato a "ricopiare in bella" i due scarabocchi
che ho disegnato, ma il tempo non mi basta.
Quindi ne allego il ipg, dove mi sembra che la
sequenza deduttiva sia comunque abbastanza
chiara (chiaro: salvo sviste!).
Bruno
In realtà, rileggendo i miei scarabocchi
di ieri, mi sono accorto di aver trascurato
un dettaglio molto simpatico.
Allego il jp1 e il jp2 con il mio ragionamento
completo, ma vi invito a non guardarli prima
di aver considerato il fatto che segue. Fin
qui abbiamo visto un modo per suddividere
il triangolo rettangolo come richiesto dal
problema (è stato indicato da Guido ed è lo
stesso che avevo trovato anch'io in prima
battuta).
Tuttavia, non è il solo, quindi è possibile
operare un altro tipo di suddivisione
di ieri, mi sono accorto di aver trascurato
un dettaglio molto simpatico.
Allego il jp1 e il jp2 con il mio ragionamento
completo, ma vi invito a non guardarli prima
di aver considerato il fatto che segue. Fin
qui abbiamo visto un modo per suddividere
il triangolo rettangolo come richiesto dal
problema (è stato indicato da Guido ed è lo
stesso che avevo trovato anch'io in prima
battuta).
Tuttavia, non è il solo, quindi è possibile
operare un altro tipo di suddivisione
Bruno
Avrai notato, Bruno, che i tre triangoli che ottieni non sono solo simili: sono congruenti. Essendo io partito dal caso generale non avevo considerato questa graziosa possibilità. Mannaggia... 
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
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"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Per i multipli di quattro, basta prendere il punto medio dei lati e...Pasquale ha scritto:Nota:
accettandosi la suddivisione in più di 3 triangoli, qualsiasi triangolo è divisibile in infiniti triangoli più che simili
...il triangolo è rip-4
il panurgo
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"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Infatti: più che simili = congruenti
La graziosa possibilità di cui parlate, facendo riferimento al disegno di Pan, è per caso quella per la quale PP' = PC ?
La graziosa possibilità di cui parlate, facendo riferimento al disegno di Pan, è per caso quella per la quale PP' = PC ?
_________________
$\text { }$ciao
ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
$\text { }$ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
No, Pasquale: si tratta di un altro modo diPasquale ha scritto:La graziosa possibilità di cui parlate, facendo riferimento al disegno di Pan, è per caso quella per la quale PP' = PC ?
suddividere il triangolo. Il sistema indicato
da Guido e da me (nel primo dei miei tre jpg,
malgrado l'estrema imprecisione grafica dei
miei disegni) non dev'essere considerato
Bruno