Ho calcolato 7^99 con Wolfram Alpha :
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E4
Questo è il risultato:
462068072803536855906378252728602401551029028414946485847699333055955922805275437143
Un numero di 84 cifre che ho riscritto separando le cifre a gruppi di tre.
Sotto ciascun gruppo ho scritto la radice numerica.La somma delle 28 radici è 91 percui la radice finale è 1.
|462|068|072|803|536|855|906|378|252|728|602|401|551|029|028|414|946|485|847|699|333|055|955|922|805|275|437|143|
| 3 -| 5 -| 0 - | 2 -| 5 -| 0- | 6- | 0 - | 0- | 8- | 8- | 5 - | 2- | 2- | 1- | 0- | 1- | 8- | 1- | 6 - | 0 - | 1- | 1- | 4 - | 4- | 5- | 5- | 8- |
Osservo che il numeraccio termina con le cifre 43.
Ho calcolato le potenze del 7 da 1 a 12 e accanto al risultato anche la radice numerica (il fuori 9):
7^1 = ------------07-----7
7^2 = ------------49-----4
7^3 = -----------343-----1
7^4 = ----------2401-----7
7^5 = ---------16807-----4
7^6 = --------117649-----1
7^7 = --------823543-----7
7^8 = -------5764801-----4
7^9 = ------40353607-----1
7^10= -----282475249-----7
7^11= ----1977326743-----4
7^12= ---13841287201-----1
Come si vede la ciclicità delle radici, giusta l'affermazione di Gianfranco, è : 7 - 4 - 1 , 7 - 4 - 1... a gruppi di tre.
Quindi penso, e non so se a torto o ragione, che essendo 99 un multiplo di 3 (3 x 33 = 99), la radice di 7^99 è uguale
a quella di 7^3 anche se non so darmi una spiegazione. Però 99 è anche multiplo di 11 (9 x 11 = 99) e osservo
che la radice di 7^11 non è 1 ma 4. Boh!?
Riscrivo il valore delle potenze del 7 da 1 a 12:
7^1 = ------------07
7^2 = ------------49
7^3 = -----------343
7^4 = ----------2401
7^5 = ---------16807
7^6 = --------117649
7^7 = --------823543
7^8 = -------5764801
7^9 = ------40353607
7^10= -----282475249
7^11= ----1977326743
7^12= ---13841287201
Le ho divise in gruppi di 4. Noto che le ultime due cifre (unità e decine)
si ripetono con ciclicità di 4: 07-49-43-01 ;
Ora mi chiedo se, data una potenza con esponente elevato, è possibile calcolare il valore delle ultime due cifre
del risultato senza l'uso di calcolatori.
Dal momento che 7^3 = 343 termina con 43, mi verrebbe da pensare che anche 7^99 (multiplo di 3) termina con le cifre 43.
Noto però che anche 7^11 = 1977326743 termina con 43 e che 99 è anche multiplo di 11 .
Quindi a differenza di prima c'è concordanza.
Ora non vorrei ricordare male, ma mi sembra di aver letto, non so dove ne quando, che grazie alle congruenze è
possibile stabilire le ultime due cifre della potenza di un numero qualsiasi con esponente grande con
semplici calcoli, oppure di fare raffronti fra potenze diverse.
So solo che tutto ciò mi crea una gran confusione da mal di testa.
Ci vorrebbe un analgesico, ma la farmacia a qest'ora è chiusa...
Saluti . peppe