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Un punto può essere considerato come un cubo a 0 dimensioni; un solo vertice , niente spigoli o facce. Se transliamo questo punto lungo una retta con lunghezza 1 (non ci interessano le unità di misura) otteniamo un cubo a 1D con due vertici ed uno spigolo. Se transliamo questo segmento in direzione perpendicolare ad esso otteniamo un quadrato, un cubo a 2D con 4 vertici, 4 spigoli, una faccia. Iterando tutto questo otteniamo una cubo 3D e poi uno a 4D. Il procedimento non cambia qualunque sia la dimensione del cubo. Quanti spigoli, facce, vertici ha un cubo 4D ? E quanti cubi 3D contiene ?

mi butto:
Un Ipercubo 4D ha (credo):
16 vertici
32 segmenti (spigoli)
24 quadrati (facce)
6 cubi

ciao

Esatto tranne i cubi, che sono 8. Riparto da dove mi ero fermato prima; transliamo il quadrato lungo una retta perpendicolare al piano in cui giace il quadrato; il numero di vertici raddoppia quindi da 4 a 8, il numero degli spigoli è 4 + 4+4 vertici che diventano spigoli, in totale 12. Le facce raddoppiano quindi sono 2+ i 4 spigoli che diventano facce quindi sono 6. La lunghezza della translazione è sempre 1 come scritto prima. Adesso un passaggio non visualizzabile: prendiamo una retta perpendicolare allo spazio 3D del cubo e transliamo nella direzione di questa retta: gli 8 vertici raddoppiano e diventano 16, gli spigoli sono 12+12+8 vertici che translati diventano spigoli, quindi 32 spigoli; le facce 6+6+12 spigoli che nella translazione diventano facce, totale 24. Le 6 facce del cubo 3D sono 6 che quindi diventano cubi, aggiungiamo due per il raddoppio del cubo originario ed otteniamo 8.

Hai ragione, è stato un refuso. Nel foglio di carta che ho usato per fare i conti avevo scritto 8 cubi e poi nel post ho scritto 6!

Non ho molto tempo per spiegare il ragionamento che ho fatto (un po' diverso dal tuo), ma alla fine sono arrivato a queste formule, dove D è il numero di dimensioni:

V = 2^D
S = V*D/2
F = S*(D-1)/4
C = F*(D-2)/6

nella 5^ dimensione, troverei un ipercubo5D con:

V = 2^5 = 32
S = 32*5/2 = 80
F = 80*4/4 = 80
C = 80*3/6 = 40
e anche degli ipercubi4D:
IC4D = C*(D-3)/8 = 40*2/8 = 10

se&o

ciao