Salve a tutti!
Ecco, fissiamo un numero naturale n>0. Abbiamo a disposizione n quadratini tutti dello stesso lato, con cui vogliamo formare delle figure usandoli tutti. L'aggiunzione di un nuovo quadratino dev'essere propria, ovvero deve riempire uno spazio che prima non era occupato da altri quadratini.
L'unica regola è che ogni volta che si aggiunge un nuovo quadratino, bisogna che uno dei suoi lati corrisponda a un lato di un quadratino già piazzato, cioè che sia adiacente a qualche altro quadratino tramite uno dei lati (ovvero: la figura risultante dev'essere "connessa", non considerando collegati due quadratini che hanno in comune solo un vertice). è come riempire n caselle di una griglia quadrettata (o "reticolo", in alcuni casi), ogni volta riempiendo una casella adiacente a una già riempita.
Chiamiamo una figura ottenuta con n quadratini una n-figura.
Ho qualche domanda (premetto che ho risposte chiare solo per poche di queste):
a) Vi dice niente il caso n=4 (oh, magari lo sapevate già ) ?
Fissata una arbitraria figura piana (per esempio un quadrato) consideriamo le seguenti trasformazioni: identità, rotazione a destra di 90 gradi, rotazione a destra di 180 gradi, rotazione a destra di 270 gradi (quando parlerò di rotazioni mi riferirò a queste quattro), simmetria rispetto all'asse orizzontale a metà, simmetria rispetto all'asse verticale a metà (quando parlerò di simmetrie mi riferirò a queste due). Per la cronaca, queste trasformazioni generano un gruppo di ordine 8, chiamato gruppo diedrale (le trasformazioni generate propriamente da quelle citate sono le simmetrie rispetto agli assi diagonali).
b) Per n=4,5, quali n-figure sono invarianti per simmetria?
c) Per n=4,5, quali n-figure sono invarianti per rotazioni?
d) Per n=4,5, quali n-figure sono invarianti sia per simmetrie che per rotazioni?
e) Per quali n esistono n-figure invarianti sia per simmetrie che per rotazioni?
f) Fissato n, quante sono le n-figure possibili (considerando diverse due n-figure se e solo se non si può ottenere l'una dall'altra tramite simmetrie e/o rotazioni in modo proprio)?
g) Fissato n, quante sono le n-figure possibili, a meno di rotazioni ma non di simmetrie? Ovvero, quante sono le classi di rotazione?
h) Fissato n, quante sono le n-figure possibili, a meno di simmetrie ma non di rotazioni? Ovvero, quante sono le classi di simmetria?
i) Fissato n, quante sono le n-figure possibili, a meno di simmetrie e di rotazioni? Ovvero, quante sono le classi di simmetria e rotazione?
Beh, almeno per n=4,5
Ciao ciao.
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Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Complicated? Mais non. Of a simplicity extreme - extreme.
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a) il caso n=4, a fantasia mi viene in mente che dovrebbero essere tutte (e sole?) le configurazioni dei pezzi del tetris
(Per quanto riguarda il gruppo diedrale è un gruppo interessante: è bello poterlo "vedere" usando due specchi messi a 45°)
b) immagino che tu intenda rispetto a tutte le simmetrie, per n=4 abbiamo 3 figure invarianti per simmetria:
per n=5 ho trovato queste tre
Sono solo queste due? Suponiamo che ci sia un'altra figura invariante per simmetria:
deve avere un centro, cioè un punto per il quale passano i due assi: infatti questo è un punto unito di entrambe le simmetrie, se non ci fosse dovrei sistemare 5 punti: se stanno fuori dagli assi devono essere in numero pari (quindi impossibile) se uno sta su un asse devo mettere quello simmetrico rispetto all'altro asse, ne rimangono 3, non possono stare tutti fuori per cui uno sta su un asse e l'altro dall'altra ne rimane uno che deve essere per forza il centro. assurdo (sarà giusta la dimostrazione??)
Allora un punto è al centro. Ne rimangono 4 da sistemare, se ne metto uno fuori da entrambi gli assi devo aggiungerne per forza altri 3 per sistemare le simmetrie e questi non si toccheranno, per cui avendo solo il centro questa configurazione non è possibile. Ne metto uno su un asse (toccando il centro) e sistemo anche l'opposto. Le figure conterranno quindi uno di questi due pezzi
Ne mancano da sistemare 2, per lo stesso discorso di prima non posso metterne uno fuori da tutti gli assi se no ne dovrei aggiungere altri 3 e non ho pezzi abbastanza, per cui devo aggiungerlo sugli assi.
Per cui o lo metto di fianco a quelli già messi oppure sull'asse lasciato libero.
Quindi ho finto i pezzi e ho ottenuto le 3 configurazioni che ho segnato prima.
Serve un'altra dimostrazione: questa è troppo lunga e non è elengate!
Ho provato a farne una con le simmetrie però viene ancora più lunga... Però allego un disegno con la costruzione di tutte le possibili configurazioni con 5 tasselli
bye
(Per quanto riguarda il gruppo diedrale è un gruppo interessante: è bello poterlo "vedere" usando due specchi messi a 45°)
b) immagino che tu intenda rispetto a tutte le simmetrie, per n=4 abbiamo 3 figure invarianti per simmetria:
per n=5 ho trovato queste tre
Sono solo queste due? Suponiamo che ci sia un'altra figura invariante per simmetria:
deve avere un centro, cioè un punto per il quale passano i due assi: infatti questo è un punto unito di entrambe le simmetrie, se non ci fosse dovrei sistemare 5 punti: se stanno fuori dagli assi devono essere in numero pari (quindi impossibile) se uno sta su un asse devo mettere quello simmetrico rispetto all'altro asse, ne rimangono 3, non possono stare tutti fuori per cui uno sta su un asse e l'altro dall'altra ne rimane uno che deve essere per forza il centro. assurdo (sarà giusta la dimostrazione??)
Allora un punto è al centro. Ne rimangono 4 da sistemare, se ne metto uno fuori da entrambi gli assi devo aggiungerne per forza altri 3 per sistemare le simmetrie e questi non si toccheranno, per cui avendo solo il centro questa configurazione non è possibile. Ne metto uno su un asse (toccando il centro) e sistemo anche l'opposto. Le figure conterranno quindi uno di questi due pezzi
Ne mancano da sistemare 2, per lo stesso discorso di prima non posso metterne uno fuori da tutti gli assi se no ne dovrei aggiungere altri 3 e non ho pezzi abbastanza, per cui devo aggiungerlo sugli assi.
Per cui o lo metto di fianco a quelli già messi oppure sull'asse lasciato libero.
Quindi ho finto i pezzi e ho ottenuto le 3 configurazioni che ho segnato prima.
Serve un'altra dimostrazione: questa è troppo lunga e non è elengate!
Ho provato a farne una con le simmetrie però viene ancora più lunga... Però allego un disegno con la costruzione di tutte le possibili configurazioni con 5 tasselli
bye
Pi greco
Sì, penso così anch'io.
Per quanto riguarda il punto (b), inoltre, mi
sembra che il "più" e il quadrato siano le uniche
figure invarianti rispetto a entrambi i tipi di
simmetria definiti da Tino. Mentre le "barre",
naturalmente, lo sono per un tipo soltanto.
Salvo sviste o fraintendimenti.
Per passare alle rotazioni, di primo acchito
(e anche di secondo e terzo...), vedo queste
figure.
Però son di corsa e potrei anche aver capito
il cosiddetto "otto per diciotto"...
A presto.
Per quanto riguarda il punto (b), inoltre, mi
sembra che il "più" e il quadrato siano le uniche
figure invarianti rispetto a entrambi i tipi di
simmetria definiti da Tino. Mentre le "barre",
naturalmente, lo sono per un tipo soltanto.
Salvo sviste o fraintendimenti.
Per passare alle rotazioni, di primo acchito
(e anche di secondo e terzo...), vedo queste
figure.
Però son di corsa e potrei anche aver capito
il cosiddetto "otto per diciotto"...
A presto.
Bruno