Ecco, fissiamo un numero naturale n>0. Abbiamo a disposizione n quadratini tutti dello stesso lato, con cui vogliamo formare delle figure usandoli tutti. L'aggiunzione di un nuovo quadratino dev'essere propria, ovvero deve riempire uno spazio che prima non era occupato da altri quadratini.
L'unica regola è che ogni volta che si aggiunge un nuovo quadratino, bisogna che uno dei suoi lati corrisponda a un lato di un quadratino già piazzato, cioè che sia adiacente a qualche altro quadratino tramite uno dei lati (ovvero: la figura risultante dev'essere "connessa", non considerando collegati due quadratini che hanno in comune solo un vertice). è come riempire n caselle di una griglia quadrettata (o "reticolo", in alcuni casi), ogni volta riempiendo una casella adiacente a una già riempita.
Chiamiamo una figura ottenuta con n quadratini una n-figura.
Ho qualche domanda (premetto che ho risposte chiare solo per poche di queste):
a) Vi dice niente il caso n=4 (oh, magari lo sapevate già
) ?Fissata una arbitraria figura piana (per esempio un quadrato) consideriamo le seguenti trasformazioni: identità, rotazione a destra di 90 gradi, rotazione a destra di 180 gradi, rotazione a destra di 270 gradi (quando parlerò di rotazioni mi riferirò a queste quattro), simmetria rispetto all'asse orizzontale a metà, simmetria rispetto all'asse verticale a metà (quando parlerò di simmetrie mi riferirò a queste due). Per la cronaca, queste trasformazioni generano un gruppo di ordine 8, chiamato gruppo diedrale (le trasformazioni generate propriamente da quelle citate sono le simmetrie rispetto agli assi diagonali).
b) Per n=4,5, quali n-figure sono invarianti per simmetria?
c) Per n=4,5, quali n-figure sono invarianti per rotazioni?
d) Per n=4,5, quali n-figure sono invarianti sia per simmetrie che per rotazioni?
e) Per quali n esistono n-figure invarianti sia per simmetrie che per rotazioni?
f) Fissato n, quante sono le n-figure possibili (considerando diverse due n-figure se e solo se non si può ottenere l'una dall'altra tramite simmetrie e/o rotazioni in modo proprio)?
g) Fissato n, quante sono le n-figure possibili, a meno di rotazioni ma non di simmetrie? Ovvero, quante sono le classi di rotazione?
h) Fissato n, quante sono le n-figure possibili, a meno di simmetrie ma non di rotazioni? Ovvero, quante sono le classi di simmetria?
i) Fissato n, quante sono le n-figure possibili, a meno di simmetrie e di rotazioni? Ovvero, quante sono le classi di simmetria e rotazione?
Beh, almeno per n=4,5
Ciao ciao.
