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Questo problema è breve da enunciare, ma arduo da risolvere...

Da una lamina quadrata vogliamo ritagliare tre semicerchi uguali.
Vogliamo anche che l'area residua sia la minore possibile.
Qual è il raggio dei tre semicerchi?

Avviso che non ho una soluzione ufficiale, perché è un problema che
ho creato io.

Buon lavoro!
ZerInf

Questo è il meglio che riesco a pensare così, al volo:
$\displaystyle r\,=\,\left(\sqrt{2}\,-\,1\right)\,L \qquad A\,\approx\,81\%$

Io avevo pensato a una soluzione con simmetria assiale come quella in figura, però la tua mi batte!
Infatti se il quadrato ha lato 1, nella mia il semicerchio ha raggio 0.37 (la costruzione è approssimata).
Si riesce a fare di meglio?

Partiamo dalla tua soluzione
Il valore di $r\,=\,0,373556\ldots$ si ottiene dall’equazione

$\displaystyle r\,+\,\sqrt{r^2\,-\,\left(\frac12\,-\,r\right)^2}\,+\,\sqrt{r^2\,-\,\left(1\,-\,2r\right)^2}\,=\,1$

Se spostiamo il semicerchio inferiore del tutto a destra otteniamo qualcosa del tipo

ed è evidente che si può fare meglio: aumentiamo il raggio e otteniamo
soluzione per la quale il valore di $r\,=\,\frac5{13}$ si ottiene dall’equazione

$\displaystyle r\,+\,2\,\sqrt{r^2\,-\,\left(1\,-\,2r\right)^2}\,=\,1$

Se ora inseriamo il secondo semicerchio a rovescio

osserviamo che è possibile un ulteriore miglioramento: aumentiamo il raggio fino a che la figura diviene simmetrica

ed è evidente che il raggio di questi semicerchi, $r\,=\,\sqrt{2}\,-\,1$, è dato dall’equazione $r\,+\,2r/\sqrt{2}\,=\,1$.
Questa è la mia soluzione
e mi pare altresì evidente che non è possibile migliorarla…

Bello il problema posto, belle le soluzioni date e grandiosa la dimostrazione di Panurgo.
Mi piacciono da matti queste mostrazioni che sono anche di-mostrazioni, che le vedi e le capisci al volo (o almeno ti sembra di averle capite al volo).

e mi pare altresì evidente che non è possibile migliorarla…

Quest'ultima frase è matematica solo al 90%, ma questa è un'altra storia...

Vediamo se è possibile renderla un po’ più rigorosa.

Premesso che il quadrato ha lato unitario, osserviamo che:

1.un semicerchio deve essere quanto più possibile vicino ad un lato in modo da lasciare spazio agli altri semicerchi.

2.quando un semicerchio è tangente ad un lato con la base occupa meno spazio dello stesso semicerchio tangente al lato con la semicirconferenza
3.quando un semicerchio è tangente al lato con la semicirconferenza, il suo centro giace su una delle rette $x\,=\,r$, $x\,=\,1\,-\,r$, $y\,=\,r$ o $y\,=\,1\,-\,r$

4.quando il semicerchio è tangente con la semicirconferenza a due lati (consecutivi) il suo centro giace su due di tali rette e quindi su una diagonale del quadrato

5.quando un semicerchio è tangente con la base alla semicirconferenza di un altro semicerchio, l'altezza raggiunta è minima quando il punto di tangenza è il centro del semicerchio (che giace su una delle rette)
questo perché cambiando punto di tangenza il centro del semicerchio si alza e la semicirconferenza dista sempre $r$ dal centro stesso.
Di conseguenza, il massimo che si può ottenere con un semicerchio tangente con la base e gli altri due con la semicirconferenza è quello in figura (con $r\,=\,\frac5{13}$)
Se ora vogliamo mettere tre semicerchi tangenti con la base otteniamo questo massimo
il cui raggio vale $r\,=\,\frac{\sqrt{19}\,-\,2}{6}$ essendo determinato dall’equazione

$\displaystyle \sqrt{4r^2\,-\,\frac14}\,+\,r\,=\,1$

Infine, nella mia soluzione, i due semicerchi tangenti con la base hanno la dimensione massima e il terzo semicerchio è ad essi tangente
Spero che questo sia più convincente…

Che dire, panurgo? Eccellente lavoro!

Se avete tempo, io rilancio: il problema è lo stesso, ma anziché 3 semicerchi dobbiamo incastrare 5 terzi di cerchio (sempre
all'interno di un quadrato). Con terzi intendo dire settori circolari con angolo al vertice di 120°. Il migliore risultato che ho
ottenuto è quello di cui sotto, dove il raggio di ciascun settore è pari a 0.37 (fatto 1 il lato del quadrato). Qualcuno riesce a
migliorare il risultato?