Ciao a tutti.
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Per l'incentro D di ABC si tracci la parallela a BC che incontri AB in E e AC in F. Figura 1.
La parallela ad AB da F incontra BC in H.
La parallela ad AC da E incontra BC in G.
Congiungiamo quindi B con D e C con D.
Essendo D l'incentro BD è la bisettrice di <ABC per cui <EBD=<DBG.
Inoltre <BDE=<DBG perchè alterni interni delle parallele EF e BC tagliate dalla trasversale BD.
Ne consegue che <EBD=<BDE, cioè che il triangolo EBD è isoscele, per cui BE=ED.
In maniera analoga dal triangolo CFD si ricava DF=FC.
In definitiva si ottiene EF=BE+CF.
Ma dal parallelogrammo GEFC si ricava FC=GE; analogamente BE=HF, da cui sostituendo
EF=HF+GE
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Quanto sopra presuppone che EF sia intena al triangolo ABC.
In figura 2, proviamo ad effettuare la costruzione precedente a partire dall'excentro relativo ad A (che chiameremomo ancora con D). I triangoli BED e CFD sono ancora isosceli sulle basi BD e CD. Per il ragionamento precedente si ha ancora EF=HF+GE.
In questo caso però la corda EF è esterna ad ABC (i punti E e F giacciono sui prolungamenti dei lati AB e AC).
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Chiediamoci ora: cosa succederebbe considerando un excentro diverso, ad esempio quello relativo a B. Figura 3.
Anche in questo caso i triangoli BED e CFD sono isosceli. Col ragionamento precedente, nel caso della figura, si ha EF= GE-HF, o, in generale, EF=|HF-GE|.
In questo caso la corda EF è esterna.
Nella succesiva figura 4 si ha un esempio di triangolo in cui la coda EF è invece interna.
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Ciao
Vittorio