Aritmetica

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

Jumpy94
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Aritmetica

Messaggio da Jumpy94 »

Dimostrate che esistono infiniti numeri primi della forma 6k-1.
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mathmum
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Messaggio da mathmum »

Al momento riesco solo a "escludere" altre possibilità.
Suppongo n positivo e lo divido per 6.
Allora ho uno dei seguenti casi:
n=6k ma allora è multiplo di 6 ->non va bene
n=6k+1 hehehe (!)
n=6k+2=2(3k+1) ->multiplo di 2 -> non va bene
n=6k+3=3(2k+1) -> multiplo di 3 -> non va bene
n=6k+4=2(3k+2) idem
n=6k+5 needs further investigation (!)

Fine del ragionamento, se così si può chiamare. Ho solo stabilito un punto di partenza.
a più tardi, se riesco a ripassare, ciao!
mathmum

...la vita è complessa: ha componenti reali ed immaginarie...

Jumpy94
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Messaggio da Jumpy94 »

Non seguo bene il tuo ragionamento mathmum. Io intendevo n=6k-1 con k naturale, e in questa progressione dimostrare che esistono infiniti primi.
Ultima modifica di Jumpy94 il dom giu 10, 2007 3:35 pm, modificato 1 volta in totale.
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mathmum
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Messaggio da mathmum »

Scusa, Jumpy, forse non mi sono spiegata bene.

Quello che intendevo è che, comunque scelto n intero positivo, n "può" essere primo solo se si può scrivere nella forma
n=6k+1 oppure n=6k +5 perchè le altre forme possibili danno luogo a numeri divisibili per 2 o per 3, quindi non primi.
Tra l'altro n=6k+5 è congruente a 6k-1 (mod 6) e quindi al momento quello che vedo è che devo indagare ulteriormente sugli n=6k+5 che sono del tipo che chiedevi tu.

Fine delle math_mum considerazioni. Purtroppo non ho avuto tempo di pensarci ulteriormente e quindi al momento "rimpallo" il quesito agli altri base5ini. ciao
mathmum

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eugenio.amitrano
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Messaggio da eugenio.amitrano »

quest'articolo potrebbe interessarvi....
http://www.matematicamente.it/giordano/perfetto6.htm

Br1
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Messaggio da Br1 »

Interessante!

Conosco questi problemi e quindi
passo anch'io la palla.
Bruno

Gianfranco
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Messaggio da Gianfranco »

Una curiosa nota storica.
Questo teorema è stato stampato per la prima (?) volta in un libro di Petrus Bungus (Pietro Bongo), 1599, "Numerorum Mysteria".
Bungus scrive a pag. 399:

"...semper ... numeri primi post binarium et ternarium, in senariorum vicinia collocati comperientur, aut uno minores, aut uno majores."

(tutti i numeri primi maggiori di 3 e di 2 sono vicini alla tavola moltiplicativa del 6 e sono del tipo 6n + 1 o 6n - 1

La citazione di Bungus si trova in: Giuseppe Peano, Formulario Mathematico, Torino, 1908, Chap. II, Arithmetica, p. 59.

Eric Weisstein (autore del noto sito su Mathematica), riguardo a questo teorema cita Wells 1986. Gli ho segnalato Peano e Bungus nel 2005, ma non credo che abbia fatto alcuna correzione.

La dimostrazione di QUESTO teorema, come avete già fatto, è molto semplice.

a) TUTTI i numeri naturali sono del tipo:
6k-2
6k-1
6k
6k+1
6k+2
6k+3

b) ma...
6k-2 composto
6k-1
6k composto
6k+1
6k+2 composto
6k+3 composto

c) di conseguenza...
TUTTI i numeri primi >3 (infiniti) sono del tipo:
6k-1
6k+1

Ovviamente non vale il viceversa.

Ma, in realtà, la domanda di Jumpy è più difficile:

Dimostrate che esistono infiniti numeri primi della forma 6k-1.

Come possiamo essere sicuri che i numeri del tipo 6k-1 ad un certo punto NON SMETTANO DEFINITIVAMENTE di essere primi?

A proposito: a che punto è la congettura dei numeri primi gemelli?


Gianfranco

eugenio.amitrano
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Messaggio da eugenio.amitrano »

Gianfranco ha scritto: Come possiamo essere sicuri che i numeri del tipo 6k-1 ad un certo punto NON SMETTANO DEFINITIVAMENTE di essere primi?
Non sono ancora in grado di dimostrarlo, ma ho penso che che se un numero >3 e' primo, allora esso sara' nella forma "6k-1" oppure "6k+1".
Mi sembra di averlo verificato una volta, ma non ne sono sicuro....e' un po' di tempo che non mi ci metto sui primi.

Gianfranco
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Messaggio da Gianfranco »

Ciao Eugenio,

Hai scritto:
se un numero >3 e' primo, allora esso sara' nella forma "6k-1" oppure "6k+1"
Questo teorema è stato dimostrato da tempo e lo abbiamo ri-dimostrato anche in questa discussione.

Ma ciò che chiede Jumpy è qualcosa di più restrittivo, che non deriva necessariamente dal nostro teorema.
Dimostrate che esistono infiniti numeri primi della forma 6k-1.
Se ad esempio fosse dimostrata la congettura dei primi gemelli, allora ne deriverebbe il teorema proposto da Jumpy.

(tratto da: http://matematica.uni-bocconi.it/LangZa ... melli3.htm)
D’ora in poi chiameremo primi gemelli due numeri primi dispari la cui distanza è 2; quindi (3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31) sono tutti primi gemelli. Tale denominazione è stata usata per la prima volta da Paul Stäckel nei primi anni del ventesimo secolo, ma era già ben noto l’enunciato di una famosa congettura sulla loro distribuzione che al giorno d’oggi non è né dimostrata né confutata:

Congettura 2.1 (dei Primi Gemelli) Esistono infiniti primi gemelli.
Gianfranco

Pigreco
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Messaggio da Pigreco »

mmh, mi sa tanto di esercizio di algebra...

Osservazione
(6a+1)(6b+1)=6(6ab+a+b)+1=6k+1
(6a-1)(6b-1)=6(6ab-a-b)+1=6k+1
(6a+1)(6b-1)=6(6ab-a+b)-1=6k-1

Definizione di numero primo: un numero è primo se e solo se ogniqualvolta divide un prodotto divide almeno uno dei fattori

Prendo un numero della forma 6n-1, sicuramente ha tra i suoi fattori un numero primo della forma 6n-1, infatti l'unico modo per ottenere un numero di questo tipo è moltiplicare un numero del tipo 6n+1 con uno del tipo 6n-1, per la definizione di numero primo arriverò a un certo punto ad avere un numero primo di quella forma.

Ovviamente questo non implica che ci siano infiniti numeri primi del tipo 6n-1, potrebbe essercene solo uno...

Però supponiamo per assurdo che ce ne siano finiti...

Li moltiplico tutti tra loro, poi li moltiplico per 6 e tolgo 1

Il numero trovato non è divisibile per nessuno dei precedenti numeri, ma è ancora della forma 6n-1, per ciò c'è un numero primo della forma 6n-1 che lo divide (e non sta tra quelli dell'elenco prima...)

Quindi ci sono infiniti numeri primi del tipo 6n-1

Va bene?
Pi greco

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Messaggio da Gianfranco »

Ciao Pigreco,

nono so se ho ben capito il tuo ragionamento, ma mi sembra che non funzioni.

Dici:
Ovviamente questo non implica che ci siano infiniti numeri primi del tipo 6n-1, potrebbe essercene solo uno...

Però supponiamo per assurdo che ce ne siano finiti...
Molto bene, ad esempio ci sono 5 e 11.

Poi dici:

Codice: Seleziona tutto

Li moltiplico tutti tra loro, poi li moltiplico per 6 e tolgo 1 
5 x 11 x 6 - 1 = 329

Infine concludi:
Il numero trovato non è divisibile per nessuno dei precedenti numeri, ma è ancora della forma 6n-1, per ciò c'è un numero primo della forma 6n-1 che lo divide (e non sta tra quelli dell'elenco prima...)
Purtroppo il tuo numero è della forma 6n - 1 ma non è detto che sia primo, infatti:

329 = 7 x 47

Gianfranco

Pigreco
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Messaggio da Pigreco »

vero, però se non è primo (come nella dimostrazione di euclide) di sicuro è prodotto di numeri primi, e come ho fatto vedere sopra, se il prodotto di due numero da 6n-1 come risultato sicuramente almeno uno dei due fattori è della forma 6n-1.
Di sicuro quest'ultimo fattore non è di quelli che ho moltiplicato prima (perchè non lo dividono)
Allora questo ultimo 6n-1 o è primo (fine) oppure è ancora il prodotto di due fattori, uno dei quali è della forma 6n-1, eccetera...

aggiungo esempio: giustamente 329 = 7 x 47
Ma 47=6*8-1 e 47 è un numero primo
Pi greco

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Messaggio da Br1 »

Sì, il ragionamento di Pigreco è corretto :wink:
E, in effetti, è quello che conosco anch'io
(peraltro indicato in vari testi).
Mi stavo chiedendo, però, se potesse esserci
un altro metodo elementare per raggiungere
la stessa conclusione.
Bruno

Gianfranco
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Messaggio da Gianfranco »

Avete ragione, il ragionamento di Pigreco è corretto.

Chiedo scusa: avevo capito male la conclusione, avevo capito che l'ultimo numero trovato dovesse essere primo. Purtroppo, era circa l'una di notte ed evedentemente non ero del tutto sveglio. (l'ora segnata in automatico è 2 ore indietro)

Gianfranco

Jumpy94
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Messaggio da Jumpy94 »

Grazie a tutti per le risposte ed in particolare a Pigreco. Vi dico dove ho trovato il quesito: Aritmetica superiore, libro che è un'introduzione alla teoria dei numeri, e devo dire che mi sono avvicinato a questo libro grazie a Base 5 (a dire la verità ero incuriosito quando parlavate di congruenze e ne volevo sapere di più...).


Grazie!!!
Giampietro
Nardone.
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