BASE CINQUE FORUM

Ciao a tutti!

Secondo voi c'è un qualche motivo per cui le cifre delle unità dei numeri primi si distribuiscono uniformemente nell'insieme $\{1,3,7,9\}$? (Ho escluso 0,2,4,5,6,8 perché i numeri che finiscono con tali cifre sono ovviamente pari o multipli di 5).

Cerco di formalizzare il problema: fissiamo $a \in \{1,3,7,9\}$. Per $n$ intero positivo sia $P(n)$ il numero di numeri primi in $\{1,\ldots,n\}$ che hanno $a$ come cifra delle unità, cioè che sono congrui ad $a$ modulo $10$. E' vero che $P(n)/n$ tende a $1/4$ quando $n \to \infty$?

Il problema mi incuriosisce.

Mi pare accertato che al crescere di n la distanza fra un primo ed il successivo tenda ad aumentare ed allora, se questo è, dato un primo per n molto grande ed il seguente primo a distanza A sufficientemente grande, terminante ad esempio per 1, i successivi 10 numeri termineranno con la sequenza di tutte le altre cifre esistenti fino al ritorno della cifra 1 e questo accadrà per tutti i numeri che seguiranno, presi a 10 a 10, senza che si presenti alcun primo se non tendenzialmente alle successive distanze A+X, con X di volta in volta crescente.
Non voglio credere che tutti gli A+X siano congrui a 0 secondo il modulo 10 o secondo altro modulo fisso, altrimenti tutti i primi dovrebbero terminare sempre con la stessa cifra; d’altra parte non credo che sia nota una legge che abbia determinato i valori di X, per cui nell’ignoranza non resta che attribuir loro valori casuali, che giocoforza non potranno privilegiare alcuna cifra in particolare.
Concluderei quindi, in base a tale forse giustificato artificio logico, che è ragionevolmente possibile presumere che le 4 cifre dell’unità dei numeri primi (1,3,7,9 ) siano equamente distribuite fra i primi esistenti nell’insieme infinito dei numeri naturali, finquando non se ne dimostri il contrario.

Potete dare un'occhiata a questo.

Anche questo articolo, non recentissimo, affronta lo stesso argomento:

Distribution of the units digit of primes
Chung-Ming Ko
Physics Department, Institute of Astronomy and Center for Complex Systems, National Central University, Chung-Li 320, Taiwan, ROC
Accepted 15 June 2001
Abstract
A sequence is formed by the units digit of consecutive prime numbers. The sequence is not random. To visualize the non-randomness of the sequence, we utilize a method put forward by Hao et al. [Chaos, Solitons & Fractals 11 (2000) 825]. A fractal-like structure is observed.

Si trova qui:
https://www.researchgate.net/publicatio ... _of_primes

Se ho capito bene, il Prof. Ko ha studiato il problema esaminando i primi 10.000.000 primi consecutivi, espressi rispetto a numerazioni in basi similari relativamente all'oggetto dello studio stesso, cioè tutte comprendenti primi con la cifra finale terminante in 4 modi possibili, come per la base 10. Il risultato mostrato per la base 8 lascia intravvedere un'equidistribuzione sulle 4 cifre (sempre che abbia capito bene).

Interessante l'articolo sul recente lavoro di Oliver e Soundararajan.

Grazie, Gianfranco, per aver proposto anche quello dell'astronomo Chung-Ming Ko.