Per quali interi $n$ queste espressioni:
$4n+1 \\\,\\ 10n+24 \\\,\\ 16n+49$
diventano contemporaneamente dei
quadrati perfetti? Perché?
Quatriplo
Moderatori: Gianfranco, Bruno
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
)$\text 1) 4n+1=a^2; n=\frac{a^2-1}{4}$
$\text 2) 10n+24=b^2; n=\frac{b^2-24}{10}$
$\text 3) 16n+49=c^2; n=\frac{c^2-49}{16}$
da 1) - 3) :
$\text4) \frac{a^2-1}{4}=\frac{c^2-49}{16}; a=\frac{\sqrt{c^2-45}}{2}$
da 2) - 3) :
$\text5) \frac{b^2-24}{10}=\frac{c^2-49}{16}; b=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5c^2-53}{2}}$
Deduciamo dalla 4) che c^2-45 deve essere un quadrato pari e sappiamo che la somma dei primi n numeri dispari è sempre un quadrato:
$S_n=n^2$
Inoltre, più alto è n, maggiore è la differenza fra n ed n-1:
dalla somma dei primi 23 numeri dispari (da 1 a 45) si ottiene 529=23^2, mentre dalla somma dei primi 22 , si ottiene $484=22^2$, ove:
$23^2=529-45=484=22^2$
La differenza fra 24^2 e 23^2 è 47 e sempre maggiori saranno le differenze fra due quadrati consecutivi da questo punto in poi: vale a dire che non potrà più esserci un quadrato da cui ottenere un altro quadrato, sottraendogli 45.
Bisogna quindi controllare se questo avviene per altri quadrati minori di 23^2, ove chiaramente il quadrato ottenuto dalla sottrazione del 45 non sarebbe quello immediatamente precedente, ma uno più piccolo.
Troviamo che esistono tali quadrati:
$9^2=81-45=36=6^2\\ 7^2=49-45=4=2^2$
Conclusione:
c=7, 9, 23, ma nella 5) troviamo accettabile solo c=23, per il quale b=18 e, tornando alla 4), a=11
A questo punto, dalle 1), 2) o 3), discende che n=30
$\text 2) 10n+24=b^2; n=\frac{b^2-24}{10}$
$\text 3) 16n+49=c^2; n=\frac{c^2-49}{16}$
da 1) - 3) :
$\text4) \frac{a^2-1}{4}=\frac{c^2-49}{16}; a=\frac{\sqrt{c^2-45}}{2}$
da 2) - 3) :
$\text5) \frac{b^2-24}{10}=\frac{c^2-49}{16}; b=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5c^2-53}{2}}$
Deduciamo dalla 4) che c^2-45 deve essere un quadrato pari e sappiamo che la somma dei primi n numeri dispari è sempre un quadrato:
$S_n=n^2$
Inoltre, più alto è n, maggiore è la differenza fra n ed n-1:
dalla somma dei primi 23 numeri dispari (da 1 a 45) si ottiene 529=23^2, mentre dalla somma dei primi 22 , si ottiene $484=22^2$, ove:
$23^2=529-45=484=22^2$
La differenza fra 24^2 e 23^2 è 47 e sempre maggiori saranno le differenze fra due quadrati consecutivi da questo punto in poi: vale a dire che non potrà più esserci un quadrato da cui ottenere un altro quadrato, sottraendogli 45.
Bisogna quindi controllare se questo avviene per altri quadrati minori di 23^2, ove chiaramente il quadrato ottenuto dalla sottrazione del 45 non sarebbe quello immediatamente precedente, ma uno più piccolo.
Troviamo che esistono tali quadrati:
$9^2=81-45=36=6^2\\ 7^2=49-45=4=2^2$
Conclusione:
c=7, 9, 23, ma nella 5) troviamo accettabile solo c=23, per il quale b=18 e, tornando alla 4), a=11
A questo punto, dalle 1), 2) o 3), discende che n=30
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$\text { }$ciao
ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
$\text { }$ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
Wow... Pasquale, ieri è stata una giornata
davvero prolifica!
OTTIMO
I tuoi metodi hanno sempre qualcosa di
molto interessante, per me.
La mia idea (che condivide con la tua alcuni
tratti) mi ha portato a sottrarre direttamente
dalla (3) il quadruplo della (1), da cui sono
passato alla rappresentazione di 45 (=49-4)
come differenza di due quadrati.
Trovate le tre soluzioni possibili per $\,n$, ho
visto quale di esse mi verificasse la (2).
Vado!
davvero prolifica!
OTTIMO
I tuoi metodi hanno sempre qualcosa di
molto interessante, per me.
La mia idea (che condivide con la tua alcuni
tratti) mi ha portato a sottrarre direttamente
dalla (3) il quadruplo della (1), da cui sono
passato alla rappresentazione di 45 (=49-4)
come differenza di due quadrati.
Trovate le tre soluzioni possibili per $\,n$, ho
visto quale di esse mi verificasse la (2).
Vado!
Bruno
Poiché mi sono cimentato anche io nella soluzione del quesito, la posto, anche se vedo che non sono il primo.
Mi concentro sulle espressioni 1 e 3, ovvero quelle che sono riuscito a domare per prime...mi spiego. Salta agli occhi che i valori di $n$ che rendono la prima espressione un quadrato perfetto formano la serie 2 , 6, 12, 20, 30, 42 ... $a_k=k^2+k$,$k\in\mathbb{N}$, per cui $n\in\{a_k\}_{k\in\mathbb{N}}$. Mentre nella terza equazione si segue un'altra serie che varia a secondo se $s$ è pari o dispari: $a_s=s^2+7/2s$ se s pari mentre $a_s=s^2/3+49/6s-13/2$ se dispari, per cui $n\in\{a_s\}_{s\in\mathbb{N}}$. Adesso notiamo questo interessante fatto, sia $k$ dispari ed $s=k-1$, ovvero pari, notiamo che $a_k-a_s=0$ solo per $k=5$, ovvero $n=30$, mentre sia $k$ dispari e $s=k$, vediamo che $a_k-a_s=0$ solo per il valore intero $k=1$. ovvero $n=2$, ciò significa che le espressioni 1 e 3 diventano contemporaneamente quadrati perfetti solo per n=2,30, mentre ciò vale solo in parte per la seconda espressione n=30. In conclusione le tre espressioni assumono valori quadrati contemporaneamente solo per n=30.
Mi concentro sulle espressioni 1 e 3, ovvero quelle che sono riuscito a domare per prime...mi spiego. Salta agli occhi che i valori di $n$ che rendono la prima espressione un quadrato perfetto formano la serie 2 , 6, 12, 20, 30, 42 ... $a_k=k^2+k$,$k\in\mathbb{N}$, per cui $n\in\{a_k\}_{k\in\mathbb{N}}$. Mentre nella terza equazione si segue un'altra serie che varia a secondo se $s$ è pari o dispari: $a_s=s^2+7/2s$ se s pari mentre $a_s=s^2/3+49/6s-13/2$ se dispari, per cui $n\in\{a_s\}_{s\in\mathbb{N}}$. Adesso notiamo questo interessante fatto, sia $k$ dispari ed $s=k-1$, ovvero pari, notiamo che $a_k-a_s=0$ solo per $k=5$, ovvero $n=30$, mentre sia $k$ dispari e $s=k$, vediamo che $a_k-a_s=0$ solo per il valore intero $k=1$. ovvero $n=2$, ciò significa che le espressioni 1 e 3 diventano contemporaneamente quadrati perfetti solo per n=2,30, mentre ciò vale solo in parte per la seconda espressione n=30. In conclusione le tre espressioni assumono valori quadrati contemporaneamente solo per n=30.
Una vita senza ricerca
non è degna di essere vissuta.
Socrate
non è degna di essere vissuta.
Socrate
Una piccola aggiunta, Giampietro: le espressioni (1) e
(3) diventano dei quadrati perfetti, ovviamente, anche
per n=0 (ma questo valore si affianca al 2, visto che
non restituisce un quadrato perfetto in 10n+24).
Naturalmente, Giampietro, anche per la variabile di
$16n+49\/$ si può trovare una forma abbastanza compatta
simile a quella vista per $\/4n+1\/$...
(3) diventano dei quadrati perfetti, ovviamente, anche
per n=0 (ma questo valore si affianca al 2, visto che
non restituisce un quadrato perfetto in 10n+24).
Naturalmente, Giampietro, anche per la variabile di
$16n+49\/$ si può trovare una forma abbastanza compatta
simile a quella vista per $\/4n+1\/$...
Bruno