La circonferenza ed il quadrato.

[Jumpy94]

Determitate la lunghezza della circonferenza sapendo che CD=12, l'area del quadrato è 36, e che l'angolo in D è retto.

[mathmum]

Ti dò il procedimento, se ti piace parti con i conti.
(a) CF è una corda della cfr, la calcoli con Pitagora sul triangolo CDF che è rettangolo.
(b) DCF è un angolo alla circonferenza sotteso da CF, (ed è il doppio dell'angolo al centro CAF).
(c) per il Teo. della corda, (*) CF=2r sen(DCF) ma il sen(DCF) lo puoi trovare nel triangolo CDF (=CF/DF)
(d) Ora hai tutti gli ingredienti da mettere nella (*) per trovare 2r. Moltiplichi per pi e ci sei...

scusa la fretta e l'esposizione "relax", ma il dovere cuciniero mi chiama, anzi mi reclama a gran voce...

ciao
LaMath(mum)

[Jumpy94]

Grazie Mathmum, ma diciamo di essere per assurdo tanto ignoranti da sapere solo cosa significa tangente di un angolo(nel campo della trigonometria), come risolvereste il problema con una solo formula?

[franco]

Rapidissimamente, e a rischio d'errore, una via che non richiede trigonometria:


ciao

[Pigreco]

Metodo analitico:
La circonferenza, con centro nell'origine ha equazione[texx^2+y^2=r^2][/tex]
La retta in alto è la retta $y=r$
Prendo un punto qualsiasi che appartiene al primo quadrante e sta sulla circonferenza, le sue coordinate sono $P=\left(x,\sqrt{r^2-x^2}\right)$
So che la distanza del punto dalla retta deve essere uguale a 6, che è il lato del quadrato, e so anche che la x del punto, cioè la distanza dall'asse delle y deve essere 12
Risolvo allora questo sistema
$\left\{r-\sqrt{r^2-x^2}=6 \\ x=12 \right.$
trovando $r=15$ e quindi la circonferenza è uguale a $30\pi$


Metodo geometrico:

DC=12
DF=6 (il lato del quadrato di area 36)
Ora, so che AC=AF perchè sono due raggi del cerchio,considero il trapezio CDFA, tracciando l'altezza FL questa è lunga 12, come DC, per cui vale la relazione
$LA^2+LF^2=FA^2$ (teorema di pitagora)
LA è lungo r-6, LF è lungo 12 e FA è lungo r per cui per trovare r risolvo
$(r-6)^2+12^2=r^2$
da cui r=15 e la circonferenza risulta quindi uguale a $30\pi$

può andare oppure ho fatto qualche errore?

[Pigreco]

oh, vedo che arrivo tardi ma almeno i conti sono giusti

[Jumpy94]

Benissimo Franco e Pigreco, ma togliamoci anche la geometria analitica ed il Teorema di Pitagora, allora?

[mathmum]

Non capisco!
Devo usare solo tangenti?
Allora riciclo il disegno di Pigreco:
LF=CD=12

tg(DCF)=DF/CD=1/2

tg(LAF)=LF/LA=12/(r-6) (*)

ma l'angolo (DCF)=1/2 (LAF) quindi x le formule di bisezione tg(LAF)=4/3

sostituisco nella (*) e trovo r=15

però mi sa che non è questo che volevi!
ciao

[Jumpy94]

Io avrei fatto:
Tan(CFG)=Tan(FLG)====>1/2=12/(2R-6)=======>2piR=30pi.
Ciao.

[mathmum]

... e aggiungiamoci pure il caro vecchio Euclide! (abbasso le tangenti!)(su CFL)

CG:GF=GF:GL
6:12=12:(2r-6)
2r=30

[Pasquale]

Ancora ( stringi pagina e metti vicino https://www.base5forum.it/files/circ_195.jpg ):

Pitagora: $CF = 6\sqrt{5}$

tang(FCG) = 2; FL = 2CF

Pitagora: $CL^2=5CF^2=5^2*6^2$; CL = 30

(anche se Euclide taglia la testa al toro)

[Pasquale]

Oppure:



$\text CF=6\sqrt{5}; BC=3\sqrt{5}$

AC:CF=BC:CG; r = 15