Bugie, verità e Bayes

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

Gianfranco
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Re: Bugie, verità e Bayes

Messaggio da Gianfranco »

Dani, hai scritto:
Premessa: ci sono circa 38 milioni di auto in Italia, ovviamente ciascuna con targa diversa. Baldo possiede un'auto.
1- Baldo dice che il numero di targa della sua auto è AN763MW
2- Baldo dice la verità 9 volte su 10.
Quale è la prob. che la targa dell'auto di Balbo sia effettivamente AN763MW?
Formulato così il problema, direi che la risposta è 9/10 senza bisogno di scomodare Bayes.

Evidentemente ho postato un esempio non appropriato a quello che volevo dire.

Propongo questo problema.

Baldo è un arciere che centra il bersaglio 1 volta su 6 e dice la verità 4 volte su 5.
Oggi ha lanciato una freccia e ha dichiarato "CENTRO!"
Qual è la probabilità che abbia fatto davvero centro | dato il fatto che ha detto "CENTRO"?

Nota: in questo contesto, le uniche dichiarazioni che può fare Baldo dopo ogni tiro sono "CENTRO" oppure "NON CENTRO".

Questo problema è simile a quello iniziale del dado, ma la risposta non è 4/5.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

delfo52
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Re: Bugie, verità e Bayes

Messaggio da delfo52 »

se non abbiamo troppa fretta, possiamo chiedere al nostro amico il numero della sua targa non una volta, ma 380milioni di volte.
"a priori", la probabilità che la sua auto abbia quella targa è di 10/380milioni.
e in quelle dieci occasioni, egli dirà, come suo solito, la verità 9 volte su dieci. Avremo quindi 9 casi in cui ci darà la risposta indicata.
In tutti gli altri casi (379.999.990),il suo numero sarà diverso; egli risponderebbe correttamente 9 volte su dieci e solo in 38milioni di casi direbbe una bugia. (ho arrotondato, ma va bene lo stesso)
dovendo dire una bugia, dovrà dire un numero di targa diverso da quello vero. una volta ogni 38milioni, dirà, per caso, la targa riportata nell'enunciato.
Le possibilità a priori che la risposta sia quella sono quindi 9 + 1. Dieci in tutto su 380milioni di ripetizioni.
Ma non ce ne importa nulla, perché noi abbiamo già ricevuta "quella" risposta. Siamo sicuri di trovarci in una di quelle, rare, occasioni.
e quando dice quel numero, può essere o uno dei nove casi in cui dice la verità, o quell'unico rarissimo caso, in cui, mentendo, avrà detto proprio quello.
Enrico

Gianfranco
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Re: Bugie, verità e Bayes

Messaggio da Gianfranco »

Enrico, tento di formalizzare il tuo ragionamento (ma non so se l'ho capito bene).
targhe_autop.png
targhe_autop.png (36.6 KiB) Visto 6899 volte
Riformulo il problema.
---
In Italia ci sono n automobili con targhe tutte diverse.
C'è pure una lotteria che contiene tutte le targe, le quali vengono estratte a sorte.
Baldo estrae un biglietto (una targa) a caso e dichiara che è la targa AN763MW.
Baldo dice la verità 9 volte su 10.
Qual è la probabilità che la targa estratta sia AN763MW | dato che Baldo ha detto "AN763MW"?

---

Il grafo illustra la situazione.
Da esso si ricava (con la formula di Bayes) che la probabilità cercata è:

$\Large\frac{\frac{9}{10n}}{\frac{9}{10n}+\frac{1}{10n}}=\frac{9}{10}$

Ooh! Il risultato non dipende da n.

Bisogna però supporre che Baldo, quando non esce la targa "AN763MW" e decide di mentire, dica una targa realmente esistente, non una qualunque sequenza alfanumerica a caso di 7 lettere-numeri.

P.S. Enrico, ho inserito il tuo messaggio nella pagina: http://utenti.quipo.it/base5/probabil/e ... erita.html
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Dani Ferrari
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Re: Bugie, verità e Bayes

Messaggio da Dani Ferrari »

Troppa confusione. Prendiamo il caso generale:
1) - il fatto F ha una prob. p di essere vero (0<p<1)
2) - Baldo (che sa come stanno le cose) dice che F è vero;
3) - Baldo dice la verità "a" volte su "b" (a<b).
Quale è la prob. che F sia vero?

Per me, il Bayes non c'entra niente. La proposizione 3) è incondizionata: la frequenza con cui Baldo dice la verità non dipende da p o da altri fattori. F è vero se e solo se Baldo dice la verità. Per cui, la prob. che Baldo dica la verità e che F sia vero è a/b.
Vedo che c'è dissenso; spiegatemi perché.

Dani

delfo52
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Re: Bugie, verità e Bayes

Messaggio da delfo52 »

9 su 10
non vedo il disaccordo
Enrico

Gianfranco
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Re: Bugie, verità e Bayes

Messaggio da Gianfranco »

Enrico, infatti, sul problema delle targhe non c'è disaccordo.
La mia è solo una piccola generalizzazione per dimostrare che il risultato non dipende da n (numero delle targhe) ma dalla probabilità con cui Baldo dice il vero o mente.

Dani, l'ultimo problema che hai posto è diverso da quello delle targhe perchè, in questo caso Baldo ha solo due possbilità di esprimersi che sono F oppure NON-F (vero o falso).
In questo caso, io concordo con il procedimento presentato all'inizio da Panurgo.
Schematicamente, la vedo come illustrato qui di seguito.
vero_falsop.png
vero_falsop.png (26.56 KiB) Visto 6892 volte
La domanda è leggermente diversa da come l'hai posta tu:
Quale è la probabilità che F sia vero | dato che Baldo ha detto che è vero?

Dal grafo si nota che Baldo dice che "F è vero" alcune volte sia quando "F è vero" sia quando "F è falso" perciò, per calcolare la probabilità a posteriori, che "F sia vero | dato che Baldo ha detto che è vero",
indicando con:
F = "Il Fatto è accaduto (è vero)"
B = "Baldo ha detto che il Fatto è accaduto (è vero)"
bisogna calcolare il rapporto:
$\Large P(F\mid B)=\frac{M}{M+N}$
che, con le variabili in gioco, diventa:
$\Large P(F\mid B)=\frac{a p}{2 a p-a-b p+b}$

----------------------------
Aggiunta notturna.
Se diciamo che Baldo dice la verità con probabilità a, otteniamo delle formule più semplici.
vero_falso_variabp.png
vero_falso_variabp.png (24.51 KiB) Visto 6892 volte
$\Large P(F\mid B)=\frac{a\,p}{2\,a\,p-p-a+1}$
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Dani Ferrari
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Re: Bugie, verità e Bayes

Messaggio da Dani Ferrari »

Alla fine, ragionando sul grafico di Gianfranco, mi sono convinto: ho detto una grande frescaccia. Mi copro il capo di cenere.
Per chi ancora non avesse le idee chiare, spiego come ci sono arrivato - senza usare la matematica, quella è meglio che la lasci ad altri.
In questi casi, conviene farsi i conti su un caso estremo. Prendiamo il seguente:
1) - il fatto F avrebbe di per sé una probabilità su 1000 di essere vero. Ma...
2) - Baldo (che sa come stanno le cose) afferma che F è vero; e...
3) - Baldo dice la verità 99 volte su 100 (e quindi mente solo 1 volta su 100).

a questo punto, quale è la probabilità che Baldo abbia detto la verità, e che quindi F sia vero?
Ecco: è circa 1 su 11. Ma come, Baldo è una persona abbastanza credibile, mente solo una volta su 100!? Come si fa a sostenere che stavolta è inaffidabile?
Bene, ripetiamo 100.000 volte l'esperimento, e facciamoci i conti.
Siccome F è vero una volta su 1000, su 100.000 casi sarà vero 100 volte. E in queste 100 volte, Baldo dirà che è vero 99 volte, e una sola volta mentirà dicendo che è falso. Ma poi, c'è il mare magnum delle 99.900 volte in cui F è falso. Conformemente alla 3), Baldo mentirà dicendo che è vero una volta su 100, cioè 999 volte. Quindi, in totale quando Baldo dice che F è vero, la sua credibilità è scarsa: i 99 casi in cui ha detto che è vero perché lo è sono soverchiati dai 999 in cui lo ha detto mentendo.
Nel complesso dei 100.000 caso, Baldo ha pur sempre detto la verità nel 99% dei casi: quando infatti ha detto che è falso, ha mentito una sola volta e ha detto il vero 98901 volta (il 99% delle 99.900 volte in cui F era falso).
Cerchiamo di generalizzare. Quando Baldo dice che è vero un fatto in sé poco probabile, la sua credibilità è compromessa dal fatto che, su un gran numero di prove, saranno relativamente pochi i casi in cui avrà occasione di dirlo essendo il fatto vero, mentre saranno assai più numerosi i casi in cui avrà l'occasione di dirlo mentendo; l'inverso accade quando Baldo dice che un fatto in sé poco probabile è falso.
In conclusione: contrariamente a quanto dicevo, la prob. che Baldo abbia detto la verità quando ha affermato che il fatto è vero dipende dalla probabilità a priori che il fatto sia vero (quella che abbiamo chiamato p).
I conti precisi li ha già fatti Gianfranco.

Uffa, mi devo andare a lavare la testa - è tutta sporca di cenere...

Dani

Gianfranco
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Re: Bugie, verità e Bayes

Messaggio da Gianfranco »

Dani, anch'io cerco di usare al minimo la matematica formale.
Non sopporto (ma rispetto) quei bravi matematici che introducono un nuovo argomento con un esempio facilissimo e persino banale, poi giri la pagina e da lì in avanti trovi solo formule incomprensibili e dimostrazioni di altissimo livello...
Comunque la tua spiegazione mi è piaciuta e chiedo anche a te, come a Enrico, il permesso di inserirla nella pagina del sito dedicata a questo problema.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Dani Ferrari
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Re: Bugie, verità e Bayes

Messaggio da Dani Ferrari »

Metti, metti...

Dani

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