Domani è il giorno 30 maggio 2007.
Riscriviamolo: 20070530.
Se con ? indichiamo il quadrato di
un numero intero, dimostrare che
il numero sopra visto può essere
espresso, e in infiniti modi, così:
?-?+?-?
ossia come somma algebrica di
quattro quadrati non nulli, tutti
diversi fra loro, nessuno dei quali
costante rispetto alle infinite
rappresentazioni di questo tipo.
Una somma algebrica
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Una somma algebrica
Bruno
-
Gianfranco
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- Iscritto il: ven mag 20, 2005 9:51 pm
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La soluzione di questo problema per me è stata una bellissima avventura nel mondo dei numeri quadrati.
Purtroppo non ho il tempo di raccontarla, per cui posto soltanto il risultato finale, che è semplicissimo.
Il punto di partenza è il seguente.
Trovare quattro numeri interi tali che:
$a^2-c^2+b^2-d^2 = N$(con N = 20070530)
E questo non è tanto difficile.
Ma poi si chiede di trovare altre infinite espressioni dello stesso tipo di tale numero N.
Dimostro subito la seconda parte.
Seconda parte
1) supponiamo di aver trovato i quattro numeri, a, b, c, d.
$a^2-c^2+b^2-d^2 = N$
2) per trovarne altri infiniti, facciamo:
$(a+k)^2-(c+k)^2+(b+h)^2-(d+h)^2 = N$
3) con qualche calcolo si verifica che l'uguaglianza vale se e solo se:
2ak - 2ck + 2bh - 2dh = 0
k(a-c) + h(b-d) = 0
$k = \frac{h(b-d)}{(c-a)}$
4) k e h sono interi se assegniamo, ad esempio:
h = u(c-a)
k = u(b-d)
con u = 1, 2, 3, 4, 5, ...
Conclusione: se ho trovato una soluzione, ne posso trovare infinite.
Prima parte
Ma come si fa per trovare una soluzione?
Poiché:
$a^2 - c^2 + b^2 - d^2 = (a-c)(a+c) + (b-d)(b+d)$
basta scomporre il numero dato in due ADDENDI che siano a loro volta scomponibili in due FATTORI che differiscano di un numero pari. I due fattori devono quindi essere entrambi pari o entrambi dispari.
Una scomposizione immediata e facilissima è:
20 070 530 = 20 070 515 + 15
Da cui si ottiene subito (scomponendo in fattori):
$15 = 4^2 - 1^2$
$20 070 515 = 5 * 4014103 = 2007054^2 - 2007049^2$
In conclusione:
a = 4
c = 1
b = 2007054
d =2007049
$20 070 530 = 4^2 - 1^2 + 2007054^2 - 2007049^2$
Le altre infinite soluzioni si trovano sostituendo:
u = 1, 2, 3, ...
h = u*(c-a) = -3u
k = u*(b-d) = 5u
a = a+k
c = c+k
b = b+h
d = d+h
Ecco alcune soluzioni:
9 , 2007051 , 6 , 2007046
19 , 2007045 , 16 , 2007040
34 , 2007036 , 31 , 2007031
54 , 2007024 , 51 , 2007019
79 , 2007009 , 76 , 2007004
109 , 2006991 , 106 , 2006986
144 , 2006970 , 141 , 2006965
184 , 2006946 , 181 , 2006941
229 , 2006919 , 226 , 2006914
279 , 2006889 , 276 , 2006884
.........................
Salvo errori ed omissioni
Gianfranco
Purtroppo non ho il tempo di raccontarla, per cui posto soltanto il risultato finale, che è semplicissimo.
Il punto di partenza è il seguente.
Trovare quattro numeri interi tali che:
$a^2-c^2+b^2-d^2 = N$(con N = 20070530)
E questo non è tanto difficile.
Ma poi si chiede di trovare altre infinite espressioni dello stesso tipo di tale numero N.
Dimostro subito la seconda parte.
Seconda parte
1) supponiamo di aver trovato i quattro numeri, a, b, c, d.
$a^2-c^2+b^2-d^2 = N$
2) per trovarne altri infiniti, facciamo:
$(a+k)^2-(c+k)^2+(b+h)^2-(d+h)^2 = N$
3) con qualche calcolo si verifica che l'uguaglianza vale se e solo se:
2ak - 2ck + 2bh - 2dh = 0
k(a-c) + h(b-d) = 0
$k = \frac{h(b-d)}{(c-a)}$
4) k e h sono interi se assegniamo, ad esempio:
h = u(c-a)
k = u(b-d)
con u = 1, 2, 3, 4, 5, ...
Conclusione: se ho trovato una soluzione, ne posso trovare infinite.
Prima parte
Ma come si fa per trovare una soluzione?
Poiché:
$a^2 - c^2 + b^2 - d^2 = (a-c)(a+c) + (b-d)(b+d)$
basta scomporre il numero dato in due ADDENDI che siano a loro volta scomponibili in due FATTORI che differiscano di un numero pari. I due fattori devono quindi essere entrambi pari o entrambi dispari.
Una scomposizione immediata e facilissima è:
20 070 530 = 20 070 515 + 15
Da cui si ottiene subito (scomponendo in fattori):
$15 = 4^2 - 1^2$
$20 070 515 = 5 * 4014103 = 2007054^2 - 2007049^2$
In conclusione:
a = 4
c = 1
b = 2007054
d =2007049
$20 070 530 = 4^2 - 1^2 + 2007054^2 - 2007049^2$
Le altre infinite soluzioni si trovano sostituendo:
u = 1, 2, 3, ...
h = u*(c-a) = -3u
k = u*(b-d) = 5u
a = a+k
c = c+k
b = b+h
d = d+h
Ecco alcune soluzioni:
9 , 2007051 , 6 , 2007046
19 , 2007045 , 16 , 2007040
34 , 2007036 , 31 , 2007031
54 , 2007024 , 51 , 2007019
79 , 2007009 , 76 , 2007004
109 , 2006991 , 106 , 2006986
144 , 2006970 , 141 , 2006965
184 , 2006946 , 181 , 2006941
229 , 2006919 , 226 , 2006914
279 , 2006889 , 276 , 2006884
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Salvo errori ed omissioni
Gianfranco
Per Pietro
mi è capitato un fatto strano: mentre non compariva alcun intervento, ero entrato in "rispondi" per inserire un mio commento (mi sembrava ad intuito che il numero di Bruno potesse essere sostituito da qualsiasi altro); entrato nella procedura di risposta, nel riquadro "revisione" notavo che invece esisteva una risposta di Gianfranco, peraltro di notevole fattura; tornavo al quesito per vedere cosa fosse accaduto e lì continuava a non apparire la risposta di Gianfranco; ritornavo a "rispondi" e la dimostrazione di Gianfranco c'era.
Ho scritto allora il mio commento e l'ho lanciato: questa volta, uscito dalla procedura di risposta, compariva l'intervento di Gianfranco e poi il mio, che ho poi cancellato, perché poco importante.
Da quel momento, la risposta di Gianfranco compariva sempre, anche dopo la cancellazione del mio intervento.
??????????
mi è capitato un fatto strano: mentre non compariva alcun intervento, ero entrato in "rispondi" per inserire un mio commento (mi sembrava ad intuito che il numero di Bruno potesse essere sostituito da qualsiasi altro); entrato nella procedura di risposta, nel riquadro "revisione" notavo che invece esisteva una risposta di Gianfranco, peraltro di notevole fattura; tornavo al quesito per vedere cosa fosse accaduto e lì continuava a non apparire la risposta di Gianfranco; ritornavo a "rispondi" e la dimostrazione di Gianfranco c'era.
Ho scritto allora il mio commento e l'ho lanciato: questa volta, uscito dalla procedura di risposta, compariva l'intervento di Gianfranco e poi il mio, che ho poi cancellato, perché poco importante.
Da quel momento, la risposta di Gianfranco compariva sempre, anche dopo la cancellazione del mio intervento.
??????????
_________________
$\text { }$ciao
ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
$\text { }$ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
Gianfranco, questa è classe!
Sono felice che tu ti sia divertito, ma sono
ancora più felice di avere imparato qualcosa.
Non dico nulla, per il momento, sull'idea che
ho seguito io, per vedere se vengono fuori
altre proposte.
Edit: 18 giugno 2007
Questa , dunque, è la mia idea.
Per risolvere il problema ho trovato e quindi
utilizzato le seguenti due identità carine:
2m = (n+m+1)² - (n+m)² + n² - (n+1)²
2m+1 = (2n-m+1)² - (2n-m+2)² + (n+2)² - n².
Sono felice che tu ti sia divertito, ma sono
ancora più felice di avere imparato qualcosa.
Non dico nulla, per il momento, sull'idea che
ho seguito io, per vedere se vengono fuori
altre proposte.
Edit: 18 giugno 2007
Questa , dunque, è la mia idea.
Per risolvere il problema ho trovato e quindi
utilizzato le seguenti due identità carine:
2m = (n+m+1)² - (n+m)² + n² - (n+1)²
2m+1 = (2n-m+1)² - (2n-m+2)² + (n+2)² - n².
Bruno