delfo52 ha scritto:WOW !!!
allora, la mia matematica "un tanto al chilo" funziona (a volte)!!
Vediamo di capire.
Lo
spazio di campionamento è l'insieme di tutte le terne ordinate di numeri che si possono ottenere usando i numeri da $1$ a $n$,
da $\left\{ 1, 1, 1 \right\}$ a $\left\{ n, n, n \right\}$. E la cardinalità di questo insieme è $n^{ \small 3 }$.
Quando la terna contiene il numero $k$, non minore degli altri due, lo spazio di campionamento si riduce a $k^{ \small 3 } - \left( k - 1 \right)^{\small 3 }$ terne: infatti, $k^{ \small 3 }$ terne si ottengono con i numeri da $1$ a $k$ e da queste vanno tolte quelle che non contengono $k$ cioè le $\left( k - 1 \right)^{\small 3 }$ che si ottengono con i numeri da $1$ a $k - 1$.
Lo possiamo vedere in altro modo con le coppie ordinate
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|C}
\hline
1,1 & 1,2 & 1,3 & \cdots & 1,k & \cdots \\
\hline
2,1 & 2,2 & 2,3 & \cdots & 2,k & \cdots \\
\hline
3,1 & 3,2 & 3,3 & \cdots & 3,k & \cdots \\
\hline
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \\
\hline
k,1 & k,2 & k,3 & \cdots & k,k & \cdots \\
\hline
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
\hline
\end{array}$
Abbiamo la riga verticale che contiene $k$ coppie, la riga orizzontale che ne contiene $k$ anch'essa e l'incrocio tra le due righe che contiene una coppia: quindi $2k - 1 = k^{ \small 2 } - \left( k - 1 \right)^{ \small 2 }$.
Analogamente, per le terne abbiamo tre facce del cubo che contengono $k^{ \small 2 }$ terne e si incrociano a due a due in tre spigoli che contengono $k$ terne e che si incrociano a loro volta nel vertice che contiene $1$ terna: $3 k^{ \small 2 } - 3 k + 1 = k^{ \small 3 } - \left( k - 1 \right)^{\small 3 }$.
È un'applicazione del principio di esclusione-inclusione.
Possiamo ora assegnare la probabilità di avere una terna contenente $k$ e due numeri non maggiori di $k$ come rapporto tra numero di tali terne su numero totale di terne
$\displaystyle p \left( k\, \middle|\, n\, I \right) = \frac { 3 k^{ \small 2 } - 3 k + 1 } { n^{ \small 3 }}$
Qual è l'expectation di $k$ (il massimo)?
$\displaystyle \left \langle k\, \middle|\, n\, I \right \rangle = \sum_{ \small k = 1 }^{ \small n } { k\, p \left( k\, \middle|\, n\, I \right) } = \frac { 1 } { n^{ \small 3 }} \sum_{ \small k = 1 }^{ \small n } { \left \{ 3 k^{ \small 3 } - 3 k^{ \small 2 } + k \right \} }$
Ora, sostituendo
$\displaystyle \begin{array}{lC}
\sum_{ \small k = 1 }^{ \small n } { k } = \frac { n \left( n + 1 \right) } { 2 } \\
\sum_{ \small k = 1 }^{ \small n } { k^{ \small 2 }} = \frac { n \left( n + 1 \right) \left( 2 n + 1 \right) } { 6 } \\
\sum_{ \small k = 1 }^{ \small n } { k^{ \small 3 }} = \frac { n^{ \small 2 } \left( n + 1 \right) ^{ \small 2 }} { 4 }
\end{array}$
con facile algebra troviamo
$\displaystyle \left \langle k\, \middle|\, n\, I \right \rangle = \frac { \left( n + 1 \right) \left( 3 n - 1 \right) } { 4 n } = \frac { \left( 1 + \frac { 1 } { n } \right) \left( 3 - \frac { 1 } { n } \right) } { 4 } n \sim \frac { 3 } { 4 } n$
Vi dice qualcosa?
Per trovare l'expectation del minimo facciamo entrare in gioco queste benedette simmetrie.
Supponiamo di scambiare in ogni terna $1$ con $n$, $2$ con $n - 1$, $3$ con $n - 2$ ecc. Evidentemente scambieremo $k$ con $n + 1 - k$ che sarà il minimo della terna (dato che $k$ è il massimo): abbiamo ottenuto una biiezione tra i massimi delle nostre terne e i loro minimi dato che c'è un minimo per ogni massimo quindi possiamo assegnare la probabilità che $n + 1 - k$ sia minimo uguale a quella che $k$ sia massimo
$\displaystyle p \left( n + 1 - k\, \middle|\, n\, I \right) = p \left( k\, \middle|\, n\, I \right) = \frac { 3 k^{ \small 2 } - 3 k + 1 } { n^{ \small 3 }}$
e calcolare l'expectation del minimo
$\displaystyle \left \langle n + 1 - k\, \middle|\, n\, I \right \rangle = \sum_{ \small k = 1 }^{ \small n } { \left( n + 1 - k \right)\, p \left( k\, \middle|\, n\, I \right) } = \left( n + 1 \right) \sum_{ \small k = 1 }^{ \small n } { p \left( k\, \middle|\, n\, I \right) } - \sum_{ \small k = 1 }^{ \small n } { k\, p \left( k\, \middle|\, n\, I \right) } = \left( n + 1 \right) - \left \langle k\, \middle|\, n\, I \right \rangle$
Bello scherzo, la simmetria! Ordunque
$\displaystyle \left \langle n + 1 - k\, \middle|\, n\, I \right \rangle = \left( n + 1 \right) - \frac { \left( n + 1 \right) \left( 3 n - 1 \right) } { 4 n } = \frac { \left( 1 + \frac { 1 } { n } \right)^{ \small 2 }} { 4 } n \sim \frac { 1 } { 4 } n$
Oh, guarda un po'...
[per ora lascio ma lo finirò, quando potrò
]
In una scatola vi sono k biglie, numerate in successione