Per quali naturali a i numeri 18a²+(-1)ª sono divisibili per sette ?
E soprattutto... perché?
In sette parti, giuste giuste
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Pigreco
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rispondo e faccio esercizio con latex
$$18a^2+(-1)^a\equiv_70$$
per comodità divido i due casi, infatti o a è pari o a è dispari
$a=2n$
sostituisco
$$18(2n)^2+1\equiv_70$$
moltiplico e porto l'uno a destra
$$72n^2\equiv_76$$
sfrutto la tavola di composizione di un numero modulo 7 moltiplicato per 72, la scrivo:
$$0*72\equiv_70$$
$$1*72\equiv_72$$
$$2*72\equiv_74$$
$$3*72\equiv_76$$
$$4*72\equiv_71$$
$$5*72\equiv_73$$
$$6*72\equiv_75$$
ottengo
$$n^2\equiv_73$$
ora guardo la tavola delle potenze
$$0*72\equiv_70$$
$$1*72\equiv_71$$
$$2*72\equiv_74$$
$$3*72\equiv_72$$
$$4*72\equiv_72$$
$$5*72\equiv_74$$
$$6*72\equiv_71$$
non ci sono potenze modulo 7 che danno 3, quindi l'equzione non ha soluzione
--------------------------------------------------------
ora considero a dispari, lo faccio in modo leggermente diverso
$$18a^2+(-1)^a\equiv_70$$
a è dispari, quindi -1 elevato alla a vale -1, lo porto a destra
$$18a^2\equiv_71$$
ora guardo la tavola di composizione per la moltiplicazione per 18 modulo 7
$$0*18\equiv_70$$
$$1*18\equiv_74$$
$$2*18\equiv_71$$
$$3*18\equiv_75$$
$$4*18\equiv_72$$
$$5*18\equiv_76$$
$$6*18\equiv_73$$
da qui vedo che vale
$$a^2\equiv_72$$
ricontrollo la tavola per l'elevamento al quadrato e osservo che le due possibili soluzioni sono
$$a\equiv_73 \vee a\equiv_74$$
esamino la prima condizione
$a=7k+3$
ma a deve essere dispari, questo vale solo se k è pari
$a=7*2n+3$
cioè
$a=14n+3$
la seconda condizione dice
$a=7k+4$
ma a deve essere dispari, questo vale solo per k dispari quindi
$a=7(2n+1)+4$
cioè
$a=14n+11$
e quindi ottengo queste due classi di soluzioni
$a=14n+3 \vee a=14n+11$
ho provato per i primi numeri e sembra corretto
penso che queste siano anche le uniche soluzioni
va bene?
$$18a^2+(-1)^a\equiv_70$$
per comodità divido i due casi, infatti o a è pari o a è dispari
$a=2n$
sostituisco
$$18(2n)^2+1\equiv_70$$
moltiplico e porto l'uno a destra
$$72n^2\equiv_76$$
sfrutto la tavola di composizione di un numero modulo 7 moltiplicato per 72, la scrivo:
$$0*72\equiv_70$$
$$1*72\equiv_72$$
$$2*72\equiv_74$$
$$3*72\equiv_76$$
$$4*72\equiv_71$$
$$5*72\equiv_73$$
$$6*72\equiv_75$$
ottengo
$$n^2\equiv_73$$
ora guardo la tavola delle potenze
$$0*72\equiv_70$$
$$1*72\equiv_71$$
$$2*72\equiv_74$$
$$3*72\equiv_72$$
$$4*72\equiv_72$$
$$5*72\equiv_74$$
$$6*72\equiv_71$$
non ci sono potenze modulo 7 che danno 3, quindi l'equzione non ha soluzione
--------------------------------------------------------
ora considero a dispari, lo faccio in modo leggermente diverso
$$18a^2+(-1)^a\equiv_70$$
a è dispari, quindi -1 elevato alla a vale -1, lo porto a destra
$$18a^2\equiv_71$$
ora guardo la tavola di composizione per la moltiplicazione per 18 modulo 7
$$0*18\equiv_70$$
$$1*18\equiv_74$$
$$2*18\equiv_71$$
$$3*18\equiv_75$$
$$4*18\equiv_72$$
$$5*18\equiv_76$$
$$6*18\equiv_73$$
da qui vedo che vale
$$a^2\equiv_72$$
ricontrollo la tavola per l'elevamento al quadrato e osservo che le due possibili soluzioni sono
$$a\equiv_73 \vee a\equiv_74$$
esamino la prima condizione
$a=7k+3$
ma a deve essere dispari, questo vale solo se k è pari
$a=7*2n+3$
cioè
$a=14n+3$
la seconda condizione dice
$a=7k+4$
ma a deve essere dispari, questo vale solo per k dispari quindi
$a=7(2n+1)+4$
cioè
$a=14n+11$
e quindi ottengo queste due classi di soluzioni
$a=14n+3 \vee a=14n+11$
ho provato per i primi numeri e sembra corretto
penso che queste siano anche le uniche soluzioni
va bene?
Pi greco
Le soluzioni sono proprio quelle, Pigreco: bravo 
Volendo, potresti riassumerle anche così, senza
ricorrere ai moduli:
$7\/n\/+\/\frac{1-(-1)^n}{2}\/+\/3\/.$
PS - Non mi sembra di aver mai visto indicare il
modulo della congruenza come fai tu: simpatico!
(Ma forse non è neanche vero che non l'abbia
mai visto...)
All'inizio, però, ho avuto l'impressione che al
membro destro ci fosse un unico numero con
le cifre sfasate.
D'altra parte, mi sono accorto che quell'effetto
particolare salta se ometti i "dollari" (che in TeX
normalmente non servono) all'inizio e alla fine:
$20\equiv_7-1$ $\/\/$ [20\equiv_7-1]
e si ripristina, invece, se scriviamo il tutto così:
$20{\equiv}_{\script 7}-1$ $\/\/$ [20{\equiv}_{\script 7}-1]
dove ho inoltre ridotto le dimensioni del modulo.
Ciao
Volendo, potresti riassumerle anche così, senza
ricorrere ai moduli:
$7\/n\/+\/\frac{1-(-1)^n}{2}\/+\/3\/.$
PS - Non mi sembra di aver mai visto indicare il
modulo della congruenza come fai tu: simpatico!
(Ma forse non è neanche vero che non l'abbia
mai visto...)
All'inizio, però, ho avuto l'impressione che al
membro destro ci fosse un unico numero con
le cifre sfasate.
D'altra parte, mi sono accorto che quell'effetto
particolare salta se ometti i "dollari" (che in TeX
normalmente non servono) all'inizio e alla fine:
$20\equiv_7-1$ $\/\/$ [20\equiv_7-1]
e si ripristina, invece, se scriviamo il tutto così:
$20{\equiv}_{\script 7}-1$ $\/\/$ [20{\equiv}_{\script 7}-1]
dove ho inoltre ridotto le dimensioni del modulo.
Ciao
Bruno
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Pigreco
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oh, come sono contento!
I moduli sono una notazione che ci hanno suggerito al corso di algebra (utile perche' risparmio spazio)
grazie anche per i suggerimenti su latex, viene scritto meglio in effetti mettendo \script
Per la soluzione "condensata" quando ho scritto le due mi e' venuto in mente un altro quesito che avevi proposto forse tu, in cui si davano due sequenze e si chiedeva una soluzione "condensata" in modo simile...
La domanda e': date due sequenze
ax+b
cx+d
come si trova il modo simile al tuo (se c'e') per indicarle in modo "condensato" ?
bye
I moduli sono una notazione che ci hanno suggerito al corso di algebra (utile perche' risparmio spazio)
grazie anche per i suggerimenti su latex, viene scritto meglio in effetti mettendo \script
Per la soluzione "condensata" quando ho scritto le due mi e' venuto in mente un altro quesito che avevi proposto forse tu, in cui si davano due sequenze e si chiedeva una soluzione "condensata" in modo simile...
La domanda e': date due sequenze
ax+b
cx+d
come si trova il modo simile al tuo (se c'e') per indicarle in modo "condensato" ?
bye
Pi greco
Bella domanda, PigrecoPigreco ha scritto: La domanda e': date due sequenze
ax+b
cx+d
come si trova il modo simile al tuo (se c'e') per indicarle in modo "condensato" ?
Provo a pensarci.
Di certo è piuttosto facile trattare il caso
in cui sia a=c.
Giusto per fare un esempio, per le due
sequenze:
2, 18, 34, 50, 66, 82, 98, ...
7, 23, 39, 55, 71, 87, 103, ...
si può trovare una formula soltanto e in
una stessa variabile, la quale fornisce, in
bell'ordine, tutti i termini indicati. La cosa
si generalizza bene per le sequenze del
tipo p+s·n e q+s·n. $\;\;$ [?]
(Vedo un po' cosa mi viene in mente per il
caso in cui sia a≠c.)
Bruno
No, Giampietro.
Come vedi, hai indicato due formule,
mentre io ne chiedo una soltanto.
Per alcuni giorni non sarò presente per
impegni, quindi mi scuso se tarderò a
rispondere a eventuali domande.
(Fra un autobus e l'altro - non posso
fare diversamente, per il momento -
ho provato anch'io a pensare un attimo
al quiz "canino" di Sancho, ma mi son
subito arrestato nello stesso punto di
Jepa... sob!)
A presto - forse.
Come vedi, hai indicato due formule,
mentre io ne chiedo una soltanto.
Per alcuni giorni non sarò presente per
impegni, quindi mi scuso se tarderò a
rispondere a eventuali domande.
(Fra un autobus e l'altro - non posso
fare diversamente, per il momento -
ho provato anch'io a pensare un attimo
al quiz "canino" di Sancho, ma mi son
subito arrestato nello stesso punto di
Jepa... sob!)
A presto - forse.
Bruno
$\red \huge \displaystyle 2+\frac{5}{2} \[(-1)^n+1\]+16\[n-1-INT(\frac{n}{2})\]$
oppure:
$\green \huge \displaystyle 2+\frac{5}{2} \[(-1)^n+1\]+4\[2n-3-(-1)^n\]$
oppure:
$\green \huge \displaystyle 2+\frac{5}{2} \[(-1)^n+1\]+4\[2n-3-(-1)^n\]$
Ultima modifica di Pasquale il mer giu 06, 2007 12:30 pm, modificato 1 volta in totale.
_________________
$\text { }$ciao
ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
$\text { }$ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
Ottimo, Pasquale!
Bei risultati.
Li hai forse scritti così grandi per la
soddisfazione?
A me è capitato di trovare qualcosa
di affatto equivalente nella sostanza
e molto simile nell'aspetto:
$2\/+\/\frac{5\cdot \[1-(-1)^{\script n}\]}2\/+\/16\cdot \(n-\left\lfloor \frac{n+1}2\right \rfloor\)$
o, più in generale:
$p\/+\/\frac{(q-p)\cdot \[1-(-1)^{\script n}\]}2\/+\/s\cdot \(n-\left\lfloor \frac{n+1}2\right \rfloor\)$
applicabile a tutte le sequenze $\/p+sn$
e $\/q+sn\/$ con $\/s\ge\/ q-p\/\ge\/0$.
Uscendo dalla "distrazione" proposta,
è chiaro, tuttavia, che da ciò ricaviamo
solo una risposta parziale alla questione
originale di Pigreco.
Bei risultati.
Li hai forse scritti così grandi per la
soddisfazione?
A me è capitato di trovare qualcosa
di affatto equivalente nella sostanza
e molto simile nell'aspetto:
$2\/+\/\frac{5\cdot \[1-(-1)^{\script n}\]}2\/+\/16\cdot \(n-\left\lfloor \frac{n+1}2\right \rfloor\)$
o, più in generale:
$p\/+\/\frac{(q-p)\cdot \[1-(-1)^{\script n}\]}2\/+\/s\cdot \(n-\left\lfloor \frac{n+1}2\right \rfloor\)$
applicabile a tutte le sequenze $\/p+sn$
e $\/q+sn\/$ con $\/s\ge\/ q-p\/\ge\/0$.
Uscendo dalla "distrazione" proposta,
è chiaro, tuttavia, che da ciò ricaviamo
solo una risposta parziale alla questione
originale di Pigreco.
Bruno
Pigreco ha scritto:La domanda e': date due sequenze
ax+b
cx+d
come si trova il modo simile al tuo (se c'e') per indicarle in modo "condensato" ?
Br1 ha scritto:Uscendo dalla "distrazione" proposta,
è chiaro, tuttavia, che da ciò ricaviamo
solo una risposta parziale alla questione
originale di Pigreco.
La seguente formula penso che possa soddisfare le richieste, anche se l'ordine degli elementi della sequenza risultante resta limitato agli elementi che fra loro occupano una posizione pari e a quelli che occupano una posizione dispari (sarebbe l'ordine degli elementi delle singole sequenze generatrici, fusi fra loro in modo alternato).
$\text Indico dunque con N_x gli elementi della nuova sequenza e con \lfloor K \rfloor l'intero$ di K:
$\text \displaystyle N_x = \frac {(-1)^x+ 1}{\large 2}\(\large a\cdot\frac {x}{2} + b \) + \frac{1-(-1)^x}{\large 2}\(\large c\cdot\lfloor \frac {x}{2}\rfloor + d \)$
oppure:
$\text \displaystyle N_x = \frac {(-1)^x+ 1}{\large 2}\(\large a\cdot\frac {x}{2} + b \) + \frac{1-(-1)^x}{2}\[\large c\cdot\frac {2x -1 + (-1)^x}{4} + d \]$
_________________
$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
$\text { }$ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)