Ancora un pò di geometria.
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Ancora un pò di geometria.
Questa estate ho raccolto una marea di materiale di matematica ricreativa, ma non ho molto tempo per dedicarmi completamente a loro (anche i professori vogliono la loro parte). Tra questi quesiti raccolti ne ho alcuni senza soluzione tra cui il seguente che sembra semplice ma non mi viene ancora di risolverlo (entro domani sono sicuro sarà da voi divorato ).
La figura è un quadrato dove viene data la lunghezza dei tre segmenti (DF=2,AF=4,FB=6) e si richiede la misura in gradi dell'algolo $\alpha$. Non so se sia stato inutile ma mi sono calcolato FE che mi pare essere $2\sqr 6$.
P.S.: non fidatevi della figura...anche se è inutile dirlo.
La figura è un quadrato dove viene data la lunghezza dei tre segmenti (DF=2,AF=4,FB=6) e si richiede la misura in gradi dell'algolo $\alpha$. Non so se sia stato inutile ma mi sono calcolato FE che mi pare essere $2\sqr 6$.
P.S.: non fidatevi della figura...anche se è inutile dirlo.
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Una vita senza ricerca
non è degna di essere vissuta.
Socrate
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Socrate
Non so se sia esatto ma io mi trovo un qualcosa del genere:
$\alpha=75^o21'40''+59^o38'19''$
questo perché ho calcolato indipendentemente due parti dell'angolo, comunque ora non ho tempo per riportare i miei calcoli ma aspetto vostre risposte.
Ciao.
Giampietro
Nardone.
$\alpha=75^o21'40''+59^o38'19''$
questo perché ho calcolato indipendentemente due parti dell'angolo, comunque ora non ho tempo per riportare i miei calcoli ma aspetto vostre risposte.
Ciao.
Giampietro
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Socrate
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Salve,
ho verificato, e concordo con jumpy;
il lato del quadrato è pari a: $\sqrt{8\sqrt{2}+20}$;
lo si può calcolare in vari modi;
Consideriamo la figura:
poniamo $\overline{FM}=x$
in sintesi si ha:
$\overline{AM}=\sqrt{4^2-x^2}$
$\overline{MB}=\sqrt{6^2-x^2}$
$\overline{AB}=\overline{AM}+\overline{MB}=\sqrt{4^2-x^2}+\sqrt{6^2-x^2}$
$\overline{AM}=\overline{FN}$
$\overline{FM}=\overline{NA}$
$\overline{DN}=\sqrt{2^2-4^2+x^2}=\sqrt{x^2-12}$
$\overline{DA}=\overline{DN}+\overline{NA}=\sqrt{x^2-12}+x$
uguagliando $\overline{DA}$ e $\overline{AB}$ si ottiene:
$\overline{DA}=\overline{AB}$
$\sqrt{x^2-12}+x=\sqrt{4^2-x^2}+\sqrt{6^2-x^2}$
da cui semplificando si ottiene una equazione in $x$;
tuttavia, io l'ho data in pasto a Derive!
che mi ha gentilmente restituito:
$x = \sqrt{\frac{16\sqrt{2}}{17} + \frac{232}{17}}$
quindi sostituendo ci calcoliamo il lato del quadrato, che vale:
$\overline{DA}=\sqrt{x^2-12}+x=\sqrt{8\sqrt{2}+20}$
una volta noto il lato del quadrato è facile calcolare l'angolo in questione col teorema di Carnot:
$cos \alpha=\frac{\overline{DF}^2+\overline{FA}^2-\overline{DA}^2}{2\overline{DF}\overline{FA}}=\frac{2^2+4^2-8\sqrt 2 -20}{2\cdot 2\cdot 4}=-\frac{\sqrt 2}{2}$
$cos \alpha = -\frac{\sqrt 2}{2} \quad\Rightarrow\quad \alpha = \frac{3\pi}{4} = 135^\circ$
Ciao
Admin
ho verificato, e concordo con jumpy;
il lato del quadrato è pari a: $\sqrt{8\sqrt{2}+20}$;
lo si può calcolare in vari modi;
Consideriamo la figura:
poniamo $\overline{FM}=x$
in sintesi si ha:
$\overline{AM}=\sqrt{4^2-x^2}$
$\overline{MB}=\sqrt{6^2-x^2}$
$\overline{AB}=\overline{AM}+\overline{MB}=\sqrt{4^2-x^2}+\sqrt{6^2-x^2}$
$\overline{AM}=\overline{FN}$
$\overline{FM}=\overline{NA}$
$\overline{DN}=\sqrt{2^2-4^2+x^2}=\sqrt{x^2-12}$
$\overline{DA}=\overline{DN}+\overline{NA}=\sqrt{x^2-12}+x$
uguagliando $\overline{DA}$ e $\overline{AB}$ si ottiene:
$\overline{DA}=\overline{AB}$
$\sqrt{x^2-12}+x=\sqrt{4^2-x^2}+\sqrt{6^2-x^2}$
da cui semplificando si ottiene una equazione in $x$;
tuttavia, io l'ho data in pasto a Derive!
che mi ha gentilmente restituito:
$x = \sqrt{\frac{16\sqrt{2}}{17} + \frac{232}{17}}$
quindi sostituendo ci calcoliamo il lato del quadrato, che vale:
$\overline{DA}=\sqrt{x^2-12}+x=\sqrt{8\sqrt{2}+20}$
una volta noto il lato del quadrato è facile calcolare l'angolo in questione col teorema di Carnot:
$cos \alpha=\frac{\overline{DF}^2+\overline{FA}^2-\overline{DA}^2}{2\overline{DF}\overline{FA}}=\frac{2^2+4^2-8\sqrt 2 -20}{2\cdot 2\cdot 4}=-\frac{\sqrt 2}{2}$
$cos \alpha = -\frac{\sqrt 2}{2} \quad\Rightarrow\quad \alpha = \frac{3\pi}{4} = 135^\circ$
Ciao
Admin
Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi" Paul Erdös
www.pvitelli.net
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Ciao Jumpy,
il fatto che tu non conosca ancora il teorema di Carnot non vuol dire che tu non possa impararlo prima che te lo insegnino ;
per cui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Legge_del_coseno
Ciao
Admin
il fatto che tu non conosca ancora il teorema di Carnot non vuol dire che tu non possa impararlo prima che te lo insegnino ;
per cui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Legge_del_coseno
Ciao
Admin
Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
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Posto, giusto perché ormai li ho scritti,
i due conti che ho fatto, semplicemente
a biro, non appena ho visto il quiz di
Giacomo (in pausa-pranzo).
Eccoli.
Confermo le conclusioni di Pietro, è
naturale
A presto!
i due conti che ho fatto, semplicemente
a biro, non appena ho visto il quiz di
Giacomo (in pausa-pranzo).
Eccoli.
Confermo le conclusioni di Pietro, è
naturale
A presto!
Bruno
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Ciao Bruno;
gran bel foglio di lavoro!
ed ottima soluzione;
di sicuro migliore della mia;
infatti se si prova a semplificare la mia equazione risultante con 3 radicali, si perviene ad una equazione di 6° o 8° grado!
mentre il tuo procedimento porta ad una semplice equazione di 2° grado.
tutto sta a saper mettere le incognite al posto giusto.
Complimenti ancora!
Ciao
Admin
gran bel foglio di lavoro!
ed ottima soluzione;
di sicuro migliore della mia;
infatti se si prova a semplificare la mia equazione risultante con 3 radicali, si perviene ad una equazione di 6° o 8° grado!
mentre il tuo procedimento porta ad una semplice equazione di 2° grado.
tutto sta a saper mettere le incognite al posto giusto.
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Ciao
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Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
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Ormai ciò fatto l'abitudine...comunque il mio nome è Giampietro...ma non hai sbagliato del tutto Bruno. Infatti deriva dalla fusione dei nomi dei miei due nonni: Giacomo e Pietro, anche se è più evidente Pietro (beh...è il nonno paterno).
Come sempre date soluzioni eleganti e compatte. Vi ammiro!!
Ciao.
Come sempre date soluzioni eleganti e compatte. Vi ammiro!!
Ciao.
Una vita senza ricerca
non è degna di essere vissuta.
Socrate
non è degna di essere vissuta.
Socrate
Dunque il calcolo era errato e, trovato l'errore, la questione si è aggravata, perché non mi riesce di ottenere un risultato accettabile. Perché?
L'idea, che avrebbe portato a risultati approssimativi, era questa:
$AC^2 = CP^2+AP^2 -2CP\cdot AP\cdot\cos\alpha$
1) $l^2=20-16cos\alpha$
$BC^2=CP^2+BP^2-2CP\cdot BPcos\beta$
$2) l^2=20-12cos\beta$
$AB^2=AP^2+BP^2-2AP\cdot BPcos\gamma$
$l^2=52-48cos\gamma= 52-48cos[360-(\alpha+\beta)]= 52-48cos(\alpha+\beta)= 52-48(cos\alpha\cdot cos\beta-sen\alpha\cdot sen\beta)$
3) $l^2= 52-48(cos\alpha\cdot cos\beta-\sqrt{(1-cos^2\alpha)(1-cos^2\beta)}$
pongo:
$cos\alpha=x$
$cos\beta=y$
ottenendo:
4) $l^2=20-16x$
5) $l^2=20-12y$
6) $l^2=52-48[xy - \sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}]$
Dalla 4) e 5):
$x=\frac{20-l^2}{16}$
$y=\frac{20-l^2}{12}$
che sostituendo nella 6), mi porta a:
$8\cdot l^6-320\cdot l^4+2176\cdot l^2=0$
$t=l^2$
$t^3-40t^2+272=0$
$t=l^2=39,8285$
l=6,31 (impossibile)
$cos\alpha = x = \frac{20-l^2}{16} = -1,239$ (impossibile)
Insomma è solo una questione di calcoli, ma non ne vengo a capo, perché non riesco a trovare l'errore, che potrebbe essere anche di tipo concettuale: qual è? Please, correggetemi il compito, anche se vedo che nel frattempo la questione è stata risolta brillantemente, come al solito.
L'idea, che avrebbe portato a risultati approssimativi, era questa:
$AC^2 = CP^2+AP^2 -2CP\cdot AP\cdot\cos\alpha$
1) $l^2=20-16cos\alpha$
$BC^2=CP^2+BP^2-2CP\cdot BPcos\beta$
$2) l^2=20-12cos\beta$
$AB^2=AP^2+BP^2-2AP\cdot BPcos\gamma$
$l^2=52-48cos\gamma= 52-48cos[360-(\alpha+\beta)]= 52-48cos(\alpha+\beta)= 52-48(cos\alpha\cdot cos\beta-sen\alpha\cdot sen\beta)$
3) $l^2= 52-48(cos\alpha\cdot cos\beta-\sqrt{(1-cos^2\alpha)(1-cos^2\beta)}$
pongo:
$cos\alpha=x$
$cos\beta=y$
ottenendo:
4) $l^2=20-16x$
5) $l^2=20-12y$
6) $l^2=52-48[xy - \sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}]$
Dalla 4) e 5):
$x=\frac{20-l^2}{16}$
$y=\frac{20-l^2}{12}$
che sostituendo nella 6), mi porta a:
$8\cdot l^6-320\cdot l^4+2176\cdot l^2=0$
$t=l^2$
$t^3-40t^2+272=0$
$t=l^2=39,8285$
l=6,31 (impossibile)
$cos\alpha = x = \frac{20-l^2}{16} = -1,239$ (impossibile)
Insomma è solo una questione di calcoli, ma non ne vengo a capo, perché non riesco a trovare l'errore, che potrebbe essere anche di tipo concettuale: qual è? Please, correggetemi il compito, anche se vedo che nel frattempo la questione è stata risolta brillantemente, come al solito.
_________________
$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
In realtà, Pasquale, arrivi a questa:(...) che sostituendo nella 6), mi porta a:
$8\cdot l^6-320\cdot l^4+2176\cdot l^2=0$
$t=l^2$
$t^3-40t^2+272=0$
$t^3-40\cdot t^2+272\cdot t=0$
che, con spicciole considerazioni,
porta al risultato già visto.
Solo una minuscola t-svista, allora,
che non toglie la validità sostanziale
del tuo metodo
Bruno
Porca.......eppure avevo controllato tutto il procedimento più volte, senza controllare evidentemente il passaggio finale!! Grazie!!
Allora per completezza correggo e concludo.
Senza necessità di utilizzare la variabile t, si perviene a:
$l^4-40\cdot l^2+272=0$
l = 5,5958653...
$cos\alpha=x=\frac{20-l^2}{16}=-0,7071...$
$\alpha=arcos (x) =$ 135°
Allora per completezza correggo e concludo.
Senza necessità di utilizzare la variabile t, si perviene a:
$l^4-40\cdot l^2+272=0$
l = 5,5958653...
$cos\alpha=x=\frac{20-l^2}{16}=-0,7071...$
$\alpha=arcos (x) =$ 135°
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$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
$\text { }$ciao ciao
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