Tutti i triangoli sono isosceli.

[Jumpy94]

Ho trovato questa dimostrazione (falsa) su un libro di algebra
lineare (per cui credo molti di voi ne siano già a conoscenza) che
permette di dire che ogni triangolo è isocele a partire da semplici
considerazioni geometriche (tra queste c'è una falsa che dovrete
trovare per salvare la credibilità della geometria che studiamo fin
dalle elementari). Sia ABC un triangolo qualunque. Chiamato D il
punto medio del segmento $\overline{BC}$, alziamo su D la
perpendicolare $\overline{DE}$ a $\overline{BC}$. Tracciamo anche la
bisettrice dell 'angolo $\widehat{BAC}$. Dobbiamo considerare due
casi. Se la bisettrice non interseca $\overline{DE}$, vuol dire che
sono parallele, e quindi la bisettrice è perpendicolare al segmento
$\overline{BC}$, e lo interseca nel punto D. Questo vuol dire che i
triangoli ADC e ADB hanno un lato in comune $\overline{AD}$ e i due
angoli congruenti ($\widehat{ADC}\simeq \widehat{ADB}$ e
$\widehat{DAC} \simeq \widehat{DAB}$); quindi i due triangoli sono
congruenti. In particolare, $\overline{AB}\simeq \overline{AC}$ cioè
il triangolo ABC è isoscele.
Altrimenti sia F il punto di intersezione fra $\overline{DE}$ e la
bisettrice. Tracciamo $\overline{FB}$, $\overline{FC}$ e da F
tiriamo le perpendicolari $\overline{FG}$ ed $\overline{FH}$ ai
segmenti $\overline{AC}$ e $\overline{AB}$. Allora i triangoli AFG e AFH sono congruenti, in quanto hanno il lato $\overline{AF}$ in
comune, e gli angoli $\widehat{FAG}$ e $\widehat{AGF}$ sono
rispettivamente uguali agli angoli $\widehat{FAH}$ e $\widehat{AHF}$ Quindi $\overline{AH}\simeq \overline{AG}$ e $\overline{FH}\simeq \overline{FG}$.
Poi anche i triangoli DBF e CDF sono congruenti, in quanto
$\overline{BD}\simeq \overline{DC}$, $\overline{DF}$ è in comune, e gli angoli in D sono congruenti. Quindi $\overline{FB}\simeq \overline{FC}$. Ora, i triangoli FHB e FGC sono triangoli
rettangoli. Quindi l'area del quadrato su $\overline{FB}$ è uguale
alla somma delle aree dei quadrati sui $\overline{FH}$ e
$\overline{FB}$; analogamente, l'area del quadrato su
$\overline{FC}$ è uguale alla somma delle aree dei quadrati su
$\overline{FG}$ e $\overline{GC}$. Ma $\overline{FB}\simeq \overline{FC}$ e $\overline{FH}\simeq \overline{FG}$; quindi l'area
del quadrato su $\overline{HB}$ è uguale all'area del quadrato su
$\overline{GC}$. Ma questo vuol dire che $\overline{HB}\simeq \overline{GC}$. Avevamo già dimostrato che $\overline{AH}\simeq \overline{AG}$; ne segue che $\overline{AB}\simeq \overline{AC}$, per cui il triangolo ABC è isoscele. Scovate l'errore

[Pasquale]

Mi pare che il "trucco" stia nel fatto che si faccia intersecare bisettrice ed asse all'interno del triangolo, cosa che non è.