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Le macchine matematiche...

Inviato: mer lug 03, 2013 6:37 am
da modulocomplicato
Da quasi profano sono rimasto affascinato dalla lettura di libri divulgativi vari sulla teoria dei numeri (per non dire che ho abboccatto come un boccalone alle tesi false e all'illusione di poter fare grandi scoperte...) e cercando una risposta alla domanda: i primi sono numeri casuali (non è vero e l'autore lo sapeva benissimo !) mi sono imbattuto nel bellissimo mondo delle "macchina" matematiche, ovvero formule, che come le macchine motorizzate ad ingranaggi, sono in grado di partire, compiere un certo lavoro e, talvolta anche arrestarsi fornendo il risultato desiderato.

Una volta individuato cosa deve fare alla fine la macchina (semplice o complicata tanto quanto lo sarebbe un robot umanoide) si cerca di comporre motori ed ingranaggi in modo che sia possibile raggiungere il risultato voluto...

La varietà degli strumenti a disposizione per la creazione di un algoritmo è ampia.

Una di quegli operatori che viene immediato utilizzare è la funzione (Intero di ....) e poi infinte altre... per tirare a zero o portare ad 1 etc...

Si possono ovviamente usare le sommatorie che possono garantire una partenza ed un arresto, come altri oggetti matematici che consentono di "spazzolare" un numero infinito di numeri.

Talvolta ci si trova davanti al problema che la macchina che si è costruita può partire, ma non c'è modo di fermarla... e quindi l'unico modo per non rendere vano il lavoro è quello di trovare il modo di metterla "in folle" dopo che ha compiuto il suo bravo lavoretto... cioè, ad esempio, continui a lavorare all'infinito dando un risultato scontato (zero ad esempio...)

Uno dei primi accrocchi che ho creato è questo:

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Poi scoperto che: z= n!/n^2 restituisce un intero se n non è primo e un non intero se n è primo (a condizione che n sia un intero, ed n>5)

Mi è venuto subito chiaro che era possibile costruire un accrocchio in grado di contare i primi e poi con quello creare un altro accrocchio in grado di restituire il prossimo primo (cosa che ho scoperto essere già stata inventata ed in modo assai più elegante a metà del 900...).

Quindi per contare quanti primi ci sono fra 0 e x, in modo esatto si può usare un tricks come questo:

Immagine


il prossimo passo, dato un primo qualsiasi, ad esempio 13, se vogliamo sapere quale sarà il prossimo primo è sufficiente che l'algoritmo:

- calcoli la posizione di 13 ( con l'accrocchio visto prima)

- faccia la banale somma: Nuova posizione = Vecchia posizione + 1

- Inserisca il dato nel formulazzone che risulta....

e si ottiene quanto vale il prossimo primo.

Tutto esattamente come se fosse un programma x computer...

Non è nè elegante nè veloce, ma è un metodo che restituisce un valore esatto, quindi i primi non sono affatto disposti a caso.

Ripeto, questo è solo uno dei tanti modi, c'è n'è uno ufficiale (con il seno) che è molto più elegante.

Come mai la maggior parte dei professori non è in grado di affascinare i propri alunni con la matematica ? Io amo la meccanica da sempre, ma mi ha fatto odiare la matematica... ho perso un sacco di tempo e ho lasciato gli studi...., fin tanto che non ho capito quanto la matematica sia fantastica, una volta preso il "filone" che piu ci piace...

Ciao
Stefano

Re: Le macchine matematiche...

Inviato: lun lug 08, 2013 4:03 pm
da Pasquale
A riguardo del calcolo della quantità di primi fra 0 e x, mi sa che bisogna aggiungere un +2 alla fine del formulazzone.

Re: Le macchine matematiche...

Inviato: mer lug 10, 2013 4:37 am
da Dani Ferrari
Fai affermazioni sulla casualità o meno di una sequenza di numeri? Penso che tu ti stia avventurando su un terreno pericoloso. Come si fa a stabilire se una sequenza di numeri è casuale o meno?

Dani

Re: Le macchine matematiche...

Inviato: ven lug 19, 2013 3:50 pm
da modulocomplicato
x Dani ...appunto...

Affermare che una sequenza è "casuale" è già di per se una bestialità, dire che lo sono i primi lo è ... al quadrato... ma questo è quanto scritto in tanti libri, in primis quelli di "Sautoy"...

Ciao
Stefano

Re: Le macchine matematiche...

Inviato: ven lug 19, 2013 9:15 pm
da modulocomplicato
Mah... ogni tanto mi ricordo quanto sono ignorante:


Grazie
Stefano

Re: Le macchine matematiche...

Inviato: gio lug 25, 2013 8:00 pm
da modulocomplicato
Avevo dimenticato il formulazzone per il calcolo del prossimo primo pi(a+1), dato un primo pi(a) qualunque:

Immagine

se usate xls va messo 0.3 al posto di 0.2

Nel formulazzone la sommatoria parte da Pi(a) che è il primo che conoscete di partenza, e si ferma al suo quadrato in quanto fra questi due estremi c'è sicuramente il primo successivo e la formulazza da zero per tutti gli altri primi successivi (o almeno dovrebbe se ho copiato quella giusta )


...quanto tempo perso...

Re: Le macchine matematiche...

Inviato: gio lug 25, 2013 11:09 pm
da marcokrt
Apro una brevissima semi-digressione e la richiudo al termine di questo post:

La teoria dei numeri è un terreno scivoloso... è facile farsi invogliare da quesiti famosi per via della facile formulazione e la semplicità dei ferri del mestiere che parrebbero strettamente necessari ma se un quesito è famoso, significa che è difficile...

Il mio consiglio è di partire da problemi più abbordabili e farsi le ossa su quelli. Ciò permetterà di progredire più rapidamente e ridurrà le frustrazioni. Per esempio, un anno fa ho creato un libricino (disponibile in giro per la rete) che contiene più di 50 quesiti aperti nuovi... sono quesiti che io non sono stato in grado di risolvere spendendo meno di 30 minuti ciascuno e ho pubblicato ciò che sono riuscito a fare in quel lasso di tempo lì, lasciando il resto al lettore volenteroso.

Questo è forse uno degli anelli più bassi della catena. Poi ci sarebbero problemi tipo quelli di Smarandache e altri pubblicati su vari libri di problemi aperti (si trovano anche come PDF - basta armarsi di un po' di pazienza). Lo step successivo è quello dei quesiti "wikipediani", li chiamerei così. Giusto per fare un esempio che coinvolge gli operatori già citati: http://en.wikipedia.org/wiki/Waring%27s_problem.
A questo punto si potrebbe sognare di affrontare un problema vero... ad esempio la congettura di Collatz, l'ABC, il problema di trovare o provare che non esiste il "Perfect Cuboid" e via dicendo. Poco sopra metterei un risultato come quello di Wiles...
In cima alla lista ci sono infine i 7 (ormai 6) problemi del millennio, tra cui il ricercare la dimostrazione definitiva dell'HP di Riemann, ma ormai inserirei in tale categoria anche la congettura di Beal.

Io non sono un matematico e in un paio d'anni di tentativi ho risolto alcuni quesiti aperti (3-4) che collocherei ai livelli 2 e 3 di quelli citati (uno inerente alla primalità dei termini di alcune sequenze di Smarandache, alcuni problemi insoluti sulla tetrazione/iperoperatori ad argomento intero e poco altro).
Mi fermerò qui, ma credo che con passione e tenacia anche un "amatore" possa sperare di superare il livello "quesiti wikipediani"... approdare però al gradino superiore ai problemi stile "congettura di Collatz", per come la vedo io, è paragonabile al vincere alla lotteria nazionale con un solo biglietto.

Re: Le macchine matematiche...

Inviato: ven lug 26, 2013 11:19 am
da modulocomplicato
...Tutti pagano per trovare il biglietto "questo è il tuo giorno fortunato", anche se sanno che non vinceranno mai (perchè le lotterie sono tutte truccate...).

La differenza fra una lotteria e la matematica è che la matematica, hai loro professoroni, è come andare per funghi: non è affatto detto che un esperto trovi qualcosa, mentre è dimostrato che diversi principianti inciampano regolarmente su enormi porcini, che riconoscono magari solo dopo che l'amico gli dice su cosa è inciampato...

Il formulazzo di cui sopra, come detto è ben superato (dal 1968) da una formula assai più elegante...

Ciao
Stefano

Re: Le macchine matematiche...

Inviato: mer ago 21, 2013 6:52 am
da modulocomplicato
Che dire... oggi mi sento particolarmente fortunato !

Bah vedremo, non sto più nella pelle e non vedo l'ora che "il capo" controlli...

Re: Le macchine matematiche...

Inviato: mer ago 21, 2013 3:46 pm
da marcokrt
modulocomplicato ha scritto:Che dire... oggi mi sento particolarmente fortunato !

Bah vedremo, non sto più nella pelle e non vedo l'ora che "il capo" controlli...
OT: Hai letto la soluzione per il problema che dell'equazione esponenziale che ritenevi essere irrisolvibile? Cosa ne pensi?

Re: Le macchine matematiche...

Inviato: mar ago 27, 2013 8:10 pm
da modulocomplicato
Ciao,

I funzionali sono fuori dalla mia portata...

Pero se A è pari x^x si risolve facilmente e senza funzionali, concordi ?

Hai visto il problema del verduraio matto ? Per te dovrebbe essere un giochetto...

Ciao
Stefano

Re: Le macchine matematiche...

Inviato: mer ago 28, 2013 1:03 am
da marcokrt
Ciao, non sono completamente d'accordo...

Esempio a caso: n=3827-->A=2n=7654.

L'unica soluzione reale di x^x:=7654 è la seguente:
x=e^[W(log(7654))] che è all'incirca 5.339, dove "log(k)" è il logaritmo base "e" e "W" indica la solita, omonima, funzione di Lambert.

Per particolari valori pari di A, la soluzione mi pare elementare, ma non certo per tutti :\


L'altro problema non ho proprio il tempo di studiarlo... sono presissimo dai puntini, purtroppo ho avuto dei problemi ultimamente che mi costringono a rimettere le mani nel relativo paper.

Re: Le macchine matematiche...

Inviato: mer ago 28, 2013 7:36 am
da modulocomplicato
No, scusa non ho capito... parliamo di A pari che sono certamente solo degli X^x, cioè credo che questo sia almeno il dato (minimo) del problema ?

Re: Le macchine matematiche...

Inviato: mer ago 28, 2013 4:53 pm
da marcokrt
Allora mi sa che non ho capito bene io quale sia il problema considerato.

x^x=A-->x^x=7654 (7654 è un numero pari a caso, il primo che mi è venuto in mente) rientra nella casistica o no?
Nota che la soluzione che propongo in quesiti irrisolti vale anche per valori dispari di A (la A definita poc'anzi), razionali e quant'altro.

Re: Le macchine matematiche...

Inviato: mer ago 28, 2013 4:55 pm
da marcokrt
Se invece consideriamo (a posteriori) solo valori pari di "x", il discorso è differente e ti do ragione.