L'ameba

[Dani Ferrari]

In un recipiente c'è un'ameba. Allo scadere di ogni minuto, l'ameba può, con eguale probabilitá:
- morire;
- restare com'è;
- scindersi in due;
- scindersi in tre.
Quali sono le probabilità che la popolazione amebica si estingua?

Dani

[delfo52]

risposta "approssimativa".
al primo minuto, 25%
al secondo minuto, un altro 25% del 25% rimasto singolo, ovvero 6,25% ( e siamo a 31 abbondanti)
al terzo minuto un quarto di 6,25, cioè 1,5 % (arrivando a 32,7 )
e poco più in là, anche proseguendo.
E abbiamo esaminato la soluzione più favorevole, ipotizzando che la povera ameba rimanga solinga e solitaria.
Se si sdoppia dopo un minuto, la possibilità che entrambe le amebe-figlie scompaiano al secondo minuto è 1/16 (la somma totale arriva a 39 circa)
se si "stripla", l'estinzione è ancora più rara: 1/64 ( ma comunque si supera il 40%)
andando ancora avanti, l'aumento di probabilità di estinzione va riducendosi, ma un po' più in là andiamo di sicuro.
A naso, ipotizzo un 42-43 %
Perché non faccio i conti esatti?
Prima di farlo, come sa chi mi conosce, amo i calcoli approssimativi.
Che mi permettono, una volta fatti poi i calcoli precisi, di sospettare un qualche errore se "i conti non tornano".
Esempio dalla vita pratica: se acquisto sette oggetti che costano un prezzo oscillante tra 2,96 e 2,99, prima di usare la calcolatrice, e prima che la commessa mi presenti il conto, io calcolo già che la somma deve essere "appena meno di 21"
poco importa se il valore esatto è 20,77 o 20,91.
Se il conto "tecnologico" darà un valore non coerente, saprò con certezza che si tratta di un errore di battitura (o di un tentativo di truffa!)

[Gianfranco]

A me, il conto "tecnologico" si stabilizza sul 35%, ma la simulazione potrebbe avere un bug che si mangia delle amebe.

[delfo52]

il "baco" era nel mio ragionamento; avevo dimenticato un "1/4" nei calcoli successivi alla prima parte del ragionamento (ameba singola)
tutto ciò che segue deve esser divivo per 4
Per cui, se da 32,7-33 ero giunto ad una stima di 42-43, se invece di 10 aggiungo 2,5...arrivo al valore di Gianfranco (approssimativamente)

[Pasquale]

Una mia simulazione, fino al 25° minuto, mi dà intorno al 42%. Aumentando il tempo di osservazione, l'algoritmo impiega sempre più tempo per sfornare il risultato, che sembra abbastanza stabile.

[Gianfranco]

In tal caso Enrico aveva ragione e nella mia simulazione c'è qualche baco mangia-amebe.
In effetti, proprio perché avevo più fretta di Pasquale, invece di simulare una lunga "coltura" di amebe ho fatto la media di tante colture più brevi. Forse il difetto sta qui.
Questa sera (notte) verificherò con calma.

[Dani Ferrari]

State sparando ai passeri con l'artiglieria pesante. La soluzione si scrive in poche righe, basta la matematica del Liceo.

Dani

[panurgo]

Direi $\sqrt{2}\,-\,1$, ma non con la matematica del Liceo...

[Dani Ferrari]

Soluzione giusta Panurgo, ma si fa proprio con la matematica del liceo. Tu sei uno specialista dell'artiglieria pesante: lo abbiamo visto con "Corri corri topolino", che (a parte l'uso del computer per risolvere alla fine il sistema di equazioni lineari) era anche quello roba da matematica del liceo, come ho spiegato in un mio post a pag. 3 di quel thread, che immagino nessuno abbia letto perché quando l'artiglieria pesante apre il fuoco tutti scappano.
Qui, io di questo problema avevo solo un vago ricordo, le varie possibilità dell'ameba le ho messe a occhio, in due minuti e due righe ho scritto la formula risolutiva e ho calcolato il valore con una calcolatrice tascabile.

Dani

[Gianfranco]

Confermo il risultato intorno al 42%.
Il mio errore era questo: avevo inserito l'istruzione RANDOMIZE dentro una definizione di FUNCTION, invece dovevo inserirla nel programma principale nel quale si richiama la FUNCTION. Così, l'estrazione di numeri casuali dava risultati non adeguati. Questa non la sapevo.

Complimenti a Panurgo, a Dani e, naturalmente, a Enrico e Pasquale!
Ora cercherò di risolvere il problema con la "matematica da liceo".

[Gianfranco]

OK, la soluzione inviata da Panurgo è una delle radici della seguente equazione:

$x=\frac{{x}^{3}}{4}+\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{x}{4}+\frac{1}{4}$

[Dani Ferrari]

Proprio così. E allora?

Dani

[Dani Ferrari]

Gianfranco, dove sei? Non puoi arrivare a questo punto e sparire. Praticamente hai fatto tutto... Devi solo spiegare come si arriva a quel l'equazione.

Dani

[Admin]

Ciao a tutti.
Leggo solo ora.
Vedo che Gianfranco ha già detto tutto.

Comunque questo è il mio ragionamento:

Indichiamo con $x$ la probabilità dell'ameba di morire.

Analizziamo le probabilità allo scadere del primo minuto:

• la probabilità di morire subito è $\frac{1}{4}$
• la probabilità di morire se resta com'è è di $\frac{1}{4}x$ ($\frac{1}{4}$ è la probabilità di restare com'è, mentre $x$ abbiamo detto che è la probabilità di un'ameba di morire)
• la probabilità di morire se si scinde in 2 è pari a $\frac{1}{4} x^2$
• la probabilità di morire se si scinde in 3 è pari a $\frac{1}{4} x^3$

pertanto la probabilità dell'ameba di morire vale:

$x = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} x^2 + \frac{1}{4} x^3$

L'equazione di 3° grado ha tre soluzioni:
$x=-\sqrt{2}-1$, $x=\sqrt{2}-1$, $x=1$

L'unica accettabile è la seconda, per cui la probabilità della popolazione di amebe di morire è $\sqrt{2}-1$.

Ciao
Admin

[Pasquale]

Qualcosa non ho capito, mi pare evidente, a causa del fattore tempo, che non so se ed in quale misura influisce sul risultato.
Trascorso il 1° minuto, la probabiltà è del 25% e mi pare che l'equazione venga impostata ragionando sul 2° minuto; al 3° minuto ed oltre, l'equazione resta la stessa?
Se si giunge al 3* minuto, ad esempio, solo con amebe immutate, duplicate e triplicate, per ognuna di queste abbiamo 1/4 di probabilità di estinzione, ed al 100° minuto?
MI sembra di intuire la necessità di un calcolo al limite in cui entri in gioco il concetto dell'infinito.
L'intuito, certamente fallace, mi dice che più tempo passa senza che si sia verificata l'estinzione, più questa diventa difficile, anche se la simulazione effettuata mi dice che al 1° minuto la probabiità è del 25%, al 2° minuto del 34%, al 3° minuto del 37%, al 4° del 39%, al 5° del 40%, al 6° 41%, al 7° fra 41% e 42%, idem fino al 25° minuto, con le approssimazioni connesse alla simulazione. Non ho potuto verificare oltre, per gli eccessivi tempi di elaborazione.
Insomma, cortesemente fatemi capire, ma non in modo sintetico, bensì sprecando qualche fiume di parole in più. Grazie.