Fin quasi all'orizzonte...

[Br1]

Siamo davanti al mare illimitato dei numeri
naturali e ne distinguiamo una sequenza con
questa caratteristica:

$a_0 = 0 \\ a_1 = 3 \cdot 0+30 = 30 \\ a_2 = 3\cdot 30+30 = 120 \\ a_3 = 3\cdot 120+30 = 390 \\ . \\ . \\ .$

La seguiamo con gli occhi fino al punto in cui
cielo e mare sembrano toccarsi e cioè fino al
termine

$a_{18052007}$.

Quali sono le sue due ultime cifre

[panurgo]

$90$

[Br1]

...stavo appunto cercando di aggiungere,
dopo il punto interrogativo:
Spiegare il perché

[panurgo]

speravo di cavarmela


$\begin{eqnarray} 00 \cdot 3 \/ + \/ 30 \/ = \/ 30 \\ 30 \cdot 3 \/ + \/ 30 \/ = \/ 20 \\ 20 \cdot 3 \/ + \/ 30 \/ = \/ 90 \\ 90 \cdot 3 \/ + \/ 30 \/ = \/ 00 \\ \end{eqnarray}$

e

$18052007 \/ \equiv \/ 3 \/ \left ({\bmod 4} \right)$

[Br1]

Ottimo e speedy

[Br1]

Bene. Ora passiamo dalla sequenza appena
vista a quella dei numeri naturali con questa
forma:

$n^{\small 6}-14n^{\small 4}-41n^{\small 2}-36.$

Qual è il loro massimo comun divisore?

Perché?

[Gianfranco]

MCD = 18

Spiegazione veloce...

Aggiungendo e sottraendo $90n^2$si ottiene che il polinomio è equivalente al seguente:

$P(n) = (n^3 - 7n + 6)(n^3 - 7n - 6) - 90 n^2$

Poiché P(1)=90 deduco che i fattori del MCD possono essere: 2, 3, 3, 5

Si verifica facilmente che:
P(n) MOD 2 = 0 per cui il fattore 2 c'é in tutti

P(5) MOD 5 = 1 per cui il fattore 5 non è in tutti

$(n^3 - 7n)$ MOD 3 = 0 per cui il fattore 3 c'è due volte in tutti

Conclusione:

il MCD è 18.

Gianfranco

[Pigreco]

grande!!!

io ho provato a prendere due polinomi simili p(n) e p(n+1) e dividerli seguendo l'algoritmo di euclide... ma non ottengo un risultato valido... secondo voi perchè?

[Br1]

Ottimo!
Piace molto anche a me