Potenza-finale

[Dani Ferrari]

Chiamiamo potenza-finale di n un numero $ n^k $ tale che le sue cifre finali siano uguali a k (n,k interi positivi). P.es. diciamo che $ 3^7=2187 $ è una potenza-finale di 3, dato che la sua finale è uguale all'esponente. Quante sono le potenze-finali di 2 per esponenti fino a 10.000 ?
Niente computer: al massimo vi concedo di usare una calcolatrice tascabile.
Per i più bravi: lasciate perdere il limite di 10.000 e andate avanti. Trovate il modo di andare avanti indefinitamente (per questo potete anche usare il computer, se pensate che vi serva a qualcosa)

Dani

[Massimo]

le unità delle potenze del 2 sono ripetutamente
2-4-8-6
per dedurlo basta notare come l'unità successiva di un prodotto dipende solo dall'unità precedente e dal fattore (in questo caso 2)
è "potenza finale" ogni 2^(1+4N) con N naturale.

essendo 2^13 <10000 mentre 2^14 >10000
avremo queste potenze finali: 2^1;2^5;2^9;2^13.
la risposta è quindi 4.

[panurgo]

A parte $2^{\small 0}\, = \,1$, le potenze di $2$ teminano per $2$, $4$, $8$, $6$, con il ciclo che si ripete ogni quattro; gli esponenti dispari sono esclusi e partiamo da $2^{\small 2}\, =\, 4$ con le potenze utili successive che si ottengono moltiplicando per $4$.E che terminano alternativamente per $6$ e per $4$.
Le prime due sono

$\begin{array}{lC} 2^{\small 4}\,\to\,4\times 4\,\to\,\ldots 6 \\ 2^{\small 6}\,\to\,\ldots 6\times 4\,\to\,\ldots 4 \end{array}$

per le quali l'ultima cifra dell'esponente e l'ultima della potenza sono invertite.
Le cifre degli esponenti torneranno ad essere $4$ e $6$ dopo cinque moltiplicazioni e avremo

$\begin{array}{lC} 2^{\small 14}\,\to\,\ldots 6\times 4\,\to\,\ldots 4 \\ 2^{\small 16}\,\to\,\ldots 4\times 4\,\to\,\ldots 6 \end{array}$

perché l'ultima cifra delle potenza ha un'alternanza binaria.
Dopo altre cinque moltiplicazioni per $4$ avremo di nuovo le cifre invertite e dopo altre cinque troveremo due potenze-finale (potenze-finali???): tali potenze sono dunque nelle forme $2^{\small 14+20k}$ e $2^{\small 16+20k}$.

Segue

$16\,+\,20k\,\leq\,10000\hspace{30px}\Longrightarrow\hspace{30px}k\,\leq\,499$

per ogni valore di $k$, da $0$ a $499$, abbiamo due potenze-finale quindi esse ammontano a $1000$.

[Quelo]

Fino a 10000 sono 3, una per decade a partire dalla seconda
Oltre 10000 stessa cosa, una per decade:

36
736
8736
48736
948736
2948736
32948736
432948736
...

Buono il ragionamento di Panurgo, ma

$2^4 \rightarrow \, ...16$

$2^6 \rightarrow \, ...64$

$2^{14} \rightarrow \, ...84$

$2^{16} \rightarrow \, ...36$

Quindi l'unico finale possibile è 36, per cui le potenze sono nella forma $2^{100k+36}$.

Queste potenze hanno tutte finale 736, quindi si passa a $2^{1000k+736}$, che hanno finale 8736 e così via.

[Dani Ferrari]

Bravo Quelo che lo ha risolto - gli altri mi pare che non avessero capito il problema

Dani