L'ultima cifra

[Dani Ferrari]

Qual è l'ultima cifra di 9^11^13^15^17^19^21^23^25^27^29 ?

Dani

[Gianfranco]

9^11^13^15^17^19^21^23^25^27^29 = 9^n, con n dispari
9^n termina per:

1 se n è pari;
9 se n è dispari.

perciò:
9^11^13^15^17^19^21^23^25^27^29 termina per 9

[Pasquale]

....e la penultima cifra?

[Quelo]

0

Tutte le potenze di 11 terminano con 1
Tutte le potenze di 9 in cui l'esponente termina con 1, terminano con 09

[Gianfranco]

(NON-NON) Aggiudicato a Quelo = Aggiudicato a Quelo. (modificato il 10 giugno 2013 ad ora tarda)

Tutte le potenze di 11 terminano con 1

Bello!

Tutte le potenze di 9 in cui l'esponente termina con 1, terminano con 09

Interessante ma da dimostrare.

[panurgo]

$9^{\small 10k + 1}\,=\,9\,\times\,81^{\small 5k}\,=\,9\,\times\,3486784401^{\small k}$

e

$3486784401^{\small k}\,=\,\left(3486784400\,+\,1\right)^{\small k}$

quindi le ultime due cifre sono $01$

[Quelo]

Troppo veloce Pan, non mi hai dato il tempo di rispondere

Rilancio con la terzultima che è 2, c'è modo di arrivarci ?

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Ok, ci sono arrivato.

[Gianfranco]

Quelo,
ho riletto la tua prima argomentazione e hai scritto:

Tutte le potenze di 11 terminano con 1

secondo me quest'affermazione non serve, infatti:
a^b^c = (a^b)^c

a^b^c <> a^(b^c)

La risposta corretta è:
9^6550564395375 mod 1000 = 249

Perciò le ultime tre cifre sono 2, 4, 9.
Ho usato:
http://alpha01.dm.unito.it/personalpage ... calc8.html

[Quelo]

Insomma, dipende,
se stiamo parlando di questo ${{{{((((a^b)}^c)}^d)}^e)}^f)$ allora hai ragione tu e le ultime tre cifre sono 249
Se stiamo parlando di questo $\Large a^{b^{c^{d^{e^f}}}}$ allora ho ragione io e le ultime tre cifre sono 209
Scritto in questa forma a^b^c^d^e^f è ambiguo, quale potenza ha la priorità, la prima o l'ultima ?

[Dani Ferrari]

A che io sappia, si comincia sempre dalla parte più esterna dell'espressione, quindi a^b^c=a^(b^c). Ricordo la vecchia storia del numero più elevato che si può scrivere con tre cifre, 9^9^9. Comunque, questo è quello che intendevo.

Dani

[Gianfranco]

Capito. Effettivamente io pensavo al significato: a^b^c = (a^b)^c = a^(b*c)

[Quelo]

Per la cronaca:

$15^{2n+1} = \, ...59375$ con $n>1$

$13^{...59375} = \, ...639557$

$11^{...639557} = \, ...3190171$

$9^{...3190171} = \, ...43053209$