BASE CINQUE FORUM

A, B e C sono impegnati in un duello alla pistola; un duello a 3 anziché a due, quindi un... trello. Tutti sanno che A colpisce il bersaglio nel 30% dei casi, C nel 50%, e B non sbaglia mai un colpo. Tireranno uno per volta, contro un bersaglio a scelta, prima A, poi B, poi C; si continua in quest'ordine, eliminando chi viene colpito, finché non resterà che un sol uomo. A, cui tocca sparare il primo colpo, sa bene di essersi messo in una brutta impresa; ma ormai è in ballo. Quale è la sua miglior strategia, quella che gli offre maggiori possibilità di essere lui il vincitore?

Dani

Ricordo un problema molto simile proposto da Utervis e risolto su BASE Cinque nel 2002.
Il duello triangolare (http://utenti.quipo.it/base5/ricevuto/ricot02.htm).

Indipendentemente da ogni calcolo, direi che A ha possibilità di cavarsela sparando a B che non sbaglia mai; se ci prende, elimina l'avversario più pericoloso e poi può sperare negli errori di C al 50%.
Se invece A non colpisce B, ha possibilità di sparargli una seconda volta, perché al suo turno,a B conviene sparare a C, in quanto poi sarà sparato da uno che ci prende solo al 30%.

A-30
B-100
C-50

A inizialmente non può che sparare a B, se sparasse a C e malauguratamente centrasse il suo bersaglio allora B lo colpirebbe subito dopo.
Nel caso in cui B sia morto, C sparerà ad A e A a C finchè uno non morirà.
Nel caso in cui B sopravviva, B sparerà a C, poi A sparerà a B.
Mi pare che ad A non convenga colpire al suo primo tentativo!

Massimo ha scritto:Mi pare che ad A non convenga colpire al suo primo tentativo!

Questa è la risposta che si trova sui libri!

in che senso?

Nel senso che qui siete un po' ingenui. Quando uno legge un problema del genere, la prima cosa che pensa è: "La risposta non può ovviamente essere che A deve sparare a B. Altrimenti che cacchio di problema è?"


Dani

Insomma, visto che "A deve sparare a B" è evidentemente una risposta sbagliata, qualcuno si decide a dire quale è la risposta giusta e perché?

Dani

Dani Ferrari ha scritto:Insomma, visto che "A deve sparare a B" è evidentemente una risposta sbagliata, qualcuno si decide a dire quale è la risposta giusta e perché?

Dani

non è così evidente visto che sopra ho scritto perchè sarebbe sbagliato non farlo!

Uffa... tu hai scritto:"A deve sparare a B". Io ho risposto: chiunque non sia tanto ma tanto ingenuo capisce subito che "A spara a B" non può essere la risposta giusta, altrimenti che cavolo di problema è?
Insomma,A spara a B è sbagliato. Quale è la risposta giusta? Lo avevi quasi detto...

Dani

1) A spara a vuoto, B elimina C e A spara a B. A ha il 30% di probabilità di vittoria

2) A spara a B e lo colpisce, allora C spara ad A. C ha il 50% di probabilità di vittoria

Nel primo caso A ha il vantaggio di sparare per primo, ma se sbaglia viene comunque eliminato

Nel secondo caso A è svantaggiato sul primo colpo ma avrebbe una seconda chance in caso di errore da parte di C

Non ho idea su quale sia il caso migliore in termini di probabilità ma se fossi A, considerando che:
- colpito ed eliminato non vuol dire necessariamente morto
- B ha buona mira e non ha nessun interesse a colpire per uccidere (non incrementa le sue probabilità di vittoria)
- C potrebbe colpire a morte per errore
sceglierei il primo caso

"non può che sparare a" io lo intendo come "non può far altro che sparare a" e non "non può sparare a". mi sfugge qualcosa?

Io ci provo:

Caso 2)
Al primo turno A ha il 50% di probabilità di essere colpito e il 50% di non essere colpito.
Se A non viene colpito può sparare di nuovo e ha il 30% di probabilità di successo.
Quindi complessivamente, sui due turni A ha il 15% di probabilità di colpire, il 50% di essere colpito e il 35% di passare al turno successivo.
Ad ogni turno la probabilità di vittoria di A aumenta in ragione in ragione di 7/20, così come quella di essere sconfitto, mentre quella di andare avanti nel duello si annulla progressivamente, per cui

$P = \displaystyle 15 \large \sum_{t=0}^{\infty} \normalsize \left(\frac{7}{20}\right)^{\large t} = \normalsize 15 \frac{20}{13} \simeq 23,07692 \%$

Quindi nel secondo caso A ha il 23% di probabilità di vittoria contro il 30% del primo caso.

SE&O

A deve sparare in aria.
Infatti, se spara a B succede che :
1a) lo uccide, però se succede è molto probabile che verrà freddato da C
2a) non lo uccide, B uccide C e dopo se la devono vedere B e A ( ma non è detto che A non sopravviva)

Se spara a C succede che:

1b) lo uccide, però viene ucciso ( sicuramente) da B, in quanto quest'ultimo non sbaglia mai un colpo
2b) lo manca, B uccide C e ci ritroviamo nella stessa situazione del 2a

A questo punto ad A conviene sparare in aria, proprio per evitare di uccidere B o C al primo turno, perchè in questo caso sarebbe alta la sua probabilità di non sopravvivenza ( se uccide C , del 100% , se uccide B, del 50%).

Siccome siete dei broccioni, uno ha detto una cosa, uno ne ha detta un'altra, e nessuno ha scritto una soluzione completa. Così la scrivo io. Ma guarda un po' cosa deve fare un povero vecchio..
A non può sparare a C: se lo colpisce, B l'infallibile lo fa secco. Se A colpisce B, poi la partita è fra lui e C - ed è C che tira il primo colpo. Al primo giro, C ha il 50% di prob. di colpire A; A ha il 30% del residuo 50% (cioè il 15%) di prob. di colpire C. Se nessuno colpisce, al 2^, 3^ ennesimo giro le prob. sono le stesse: 50 a 15. Quindi A ha 15/65=23% di prob. favorevoli.
Se invece al primo tiro A non colpisce nessuno, B elimina C; poi tocca ad A, che ha il 30% di prob. di fare centro e uscirne vincitore. Il 30% è meglio del 23%, quindi al primo tiro A spara in aria.

Dani