I topi di Phvqyt

[Dani Ferrari]

Problema molto facile
Per un fenomeno di mutazione genetica, apparve un bel giorno a Phvqyt la prima coppia di una nuova razza di topi, che aveva caratteristiche singolari: a ogni parto, nasceva sempre e soltanto un'altra coppia di topolini; tale coppia viveva solo 11 mesi precisi, ma generava una coppia all'età esatta di 5 mesi, e un'altra coppia all'età esatta di 8 mesi. Così, dall'unica coppia originaria si è ben presto sviluppata una nuova razza. Mi è appena giunta notizia che il mese scorso le sole nascite hanno per la prima volta superato le 100 coppie in un mese. Quante erano le coppie viventi ala fine del mese?

[Quelo]

Ma, a me esce 555, ma non ho voglia di verificarlo, prendetelo con il beneficio del dubbio.

[Dani Ferrari]

Quando ti sei rilassato verifica... e fai i conti giusti.

[Quelo]

Svista, ho considerato il 60 e non mi sono accorto del 57.
Rilancio con 502.
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Rettifico; nuovo calcolo, nuovo risultato: 559

[Admin]

Indichiamo con $x$ il numero di mesi trascorsi da quando è arrivata la prima coppia di topi ed indichiamo con $f(x)$ la funzione che ci da il numero di coppie di topi viventi presenti alla fine del mese $x$.

$f(x)$ sarà pari alla somma di:
$\quad 1.$ coppia iniziale ($1$)
$\quad 2.$ coppia nata dopo $5$ mesi più tutti i suoi discendenti fino alla fine del mese $x$
$\quad 3.$ coppia nata dopo $8$ mesi più tutti i suoi discendenti fino alla fine del mese $x$

Si nota facilmente che il numero formato dalla $2.$ altro non è che $f(x-5)$ dal momento che il caso è lo stesso della coppia iniziale, solo spostato di $5$ mesi.
Analogamente il numero formato dalla $2.$ è pari a $f(x-8)$.

Pertanto otteniamo:

$f(x)=1+f(x-5)+f(x-8)$

Nel caso in cui $x$ è negativo si ha $f(x)=0$.

Però non abbiamo tenuto conto del fatto che ogni coppia muore dopo $11$ mesi.
Ne possiamo tener conto andando ad agire sul primo addendo della somma, che sarà uguale ad $1$ se $0<x<11$, mentre sarà uguale a $0$ se $x>=11$.

Pertanto la funzione corretta che ci da il numero di coppie viventi alla fine del mese $x$ è:

$f(x) = \left\{\begin{array}{} 0 & \qquad\text{se}\quad x<0 \\ 1+f(x-5)+f(x-8) & \qquad\text{se}\quad 0\le x<11 \\ f(x-5)+f(x-8) & \qquad\text{se}\quad x\ge 11 \end{array}\right.$

Indichiamo invece con $g(x)$ la fuzione che ci da il numero delle sole nascite alla fine del mese $x$; essa sarà uguale ad $f(x)$, a meno della condizione $3$ che tiene conto delle coppie che muoiono, ossia:

$g(x) = \left\{\begin{array}{} 0 & \qquad\text{se}\quad x<0 \\ 1+f(x-5)+f(x-8) & \qquad\text{se}\quad x\ge 0 \end{array}\right.$

Ora la traccia ci dice:

Mi è appena giunta notizia che il mese scorso le sole nascite hanno per la prima volta superato le 100 coppie in un mese.

Ciò significa trovare il valore minimo di $x$ tale che risulti valida l'uguaglianza:

$g(x)-g(x-1)> 100$

Tramite l'aiuto del PC, in particolare di Maxima, si trova che $x=57$.
E quindi il numero di coppie viventi alla fine di tal mese $x$ è (sempre calcolato con Maxima):

$f(57)=559$

Purtroppo non mi riesce di semplificare la funzione ricorsiva, né trovare una soluzione più elegante che non preveda l'uso del PC;
ma, avendo Dani etichettato il problema come molto facile, immagino ci sia.

Ciao
Admin

Agg.: Post aggiornato per correzione, dopo la segnalazione di Quelo

[Quelo]

Ciao Pietro,
la tua funzione restituisce le coppie in vita in un certo mese, quindi se faccio $f(x)-f(x-1)$ ottengo la differenza dei viventi, che tiene conto sia dei nati che dei morti.
Da quello che capisco io il problema indica come mese da considerare il primo in cui "le sole nascite hanno per la prima volta superato le 100 coppie in un mese".
A me risulta il mese 57 dove la differenza delle coppie viventi col mese precedente è di 98, ma le coppie nate nel mese sono 126.

[Admin]

Oops...
ecco perchè all'inizio mi trovavo con il tuo risultato e poi invece non mi sono trovato più.

In pratica all'inizio non avevo messo la condizione che teneva conto delle coppie che muoiono, proprio per avere le sole nascite.
Poi dopo mi è servita per il calcolo finale e l'ho inserita.

Riportando il tutto in bella copia, mi son dimenticato il passaggio.

Ora aggiusto direttamente sopra.

Grazie.

P.S.: come sei arrivato al valore finale? tramite PC?

Ciao
Admin

[Quelo]

Ho usato due sistemi diversi:
Il primo consiste banalmente nel segnare tutte le coppie nate e morte in un foglio di excel, mese per mese e sommarle, con qualche copia e incolla si ottiene il risultato voluto.

Il secondo consiste nel considerare che i conigli si riproducono con frequenza alternata di 5 e 3 mesi e muoiono con frequenza fissa di 11 mesi.
Per le morti è facile, le coppie nate 11 mesi prima vanno in detrazione al computo del mese corrente.
Per le nascite le frequenze alternate si sovrappongono secondo il triangolo di tartaglia:

Codice: Seleziona tutto

mese - coppie nate
   0 - 1

   5 - 1
   8 - 1

  10 - 1
  13 - 2
  16 - 1

  15 - 1
  18 - 3
  21 - 3
  24 - 1

  20 - 1
  23 - 4
  26 - 6
  29 - 4
  32 - 1
...

A un certo punto si ha la sequenza 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1, dove la prima posizione corrisponde al mese $5\cdot9=45$ e la quinta (126) corrisponde al mese $45+3\cdot4=57$
Per avere il totale dei viventi ho dovuto però tabularle e sommarle.

[Dani Ferrari]

Credo che mi coprirò il capo con un lembo della toga e andrò ad accasciarmi ai piedi della statua di Fibonacci... Ma che vi prende? ma come fate? Questo, ve lo avevo detto, è un problema molto facile. E i problemi molto facili si risolvono a mano, senza bisogno di nessun computer, di strani programmi per matematici, di fogli elettronici...
Si lavora sulle nascite. Prendete un pezzo di carta a quadretti grandi, disegnate una matrice 6x10, numerate le colonne da 0 a 9 e la righe da 0 a 5. Nella casella 0 segnate 1, idem 5 e nella 8. Andate avanti segnando in ogni casella le nascite, pari al totale di 5 e 8 caselle prima. Quando le nascite superano le 100, per avere la popolazione sommate i numeri delle ultime 11 caselle, sono i topi ancora vivi. La soluzione che avete trovato, 559, è corretta; ma cavolo, avete bisogno di sofisticati programm9i di computer per fare una manciata di somme?!
Sempre a sparare ai passeri con l'artiglieria pesante...

Dani