10 cent nel palloncino

[Gianfranco]

Cari amici,
la scuola italiana (di base = elementare + media) in questi anni ha pochissimi soldi per il laboratorio di scienze e di matematica. In compenso, ne ha molti di più per comprare LIM, Tablet, reti wireless, etc.
Perciò è da tempo che assieme ai miei alunni stiamo progettando esperimenti scientifici realizzabili con materiale poverissimo se non addirittura intercettando oggetti prima che finiscano nel bidone della spazzatura.

Uno di questi esperimenti consiste nell'infilare una moneta da 10 cent in un palloncino, poi si gonfia il palloncino e si fa rotolare la moneta al suo interno come un motoclista in una gabbia sferica. Si possono imparare un sacco di cose di fisica (compresa l'acustica) e matematica e alla fine si recuperano i 10 cent.
Qui vorrei porvi un problema di matematica.
Nelle due foto seguenti, immaginate la moneta (indicata con una freccia rossa) che ruota dentro il pallone lungo la linea tratteggiata.
Dopo aver messo in rapida rotazione la moneta, ci fermiamo e cronometriamo per quanto tempo la moneta si muove prima di fermarsi.

moneta_pallone3.jpg (93.8 KiB) Visto 8583 volte

moneta_pallone7.jpg (84.58 KiB) Visto 8583 volte

La domanda che pongo è: trovare un metodo "spannometrico" (come dice Enrico) per valutare approssimativamente la distanza percorsa dalla moneta prima di fermarsi.

Tale metodo dovrebbe richiedere solo operazioni e misurazioni elementari.

[Pasquale]

Mi dà l'impressione che manchi qualche dato. Quanti giri al secondo fa la moneta?

[Info]

Il problema e`che man mano la moneta rallenta scende, quindi fara`poi i giri sempre in minor tempo

[delfo52]

il numero di giri non è indicato, ma per "stare su" deve avere una velocità minima. Che non so più calcolare, ma c'è.

[panurgo]

Il problema e`che man mano la moneta rallenta scende, quindi fara`poi i giri sempre in minor tempo

Intuitivamente, la moneta scende perché rallenta percorrendo nello stesso tempo un percorso più breve (?)

[Pasquale]

Penso che la moneta scende a causa della forza di gravità, mentre quella centrifuga non è sufficiente.
Comunque, siccome dobbiamo andare a spanne, prendendo a riferimento il raggio del pallone, azzarderei che lo spazio percorso si aggira sui $2,6\pi r^2$, vale a dire che se il palloncino ha un raggio di 15 cm, la moneta percorre sui 18 metri.

[franco]

Il problema e`che man mano la moneta rallenta scende, quindi fara`poi i giri sempre in minor tempo

Intuitivamente, la moneta scende perché rallenta percorrendo nello stesso tempo un percorso più breve (?)

Non so, a me non sembra poi così intuitivo il fatto che la moneta scendendo rallenti.

Fossimo in assenza di attrito, come la moneta scende l'energia potenziale si trasforma in energia cinetica e quindi la moneta dovrebbe accelerare.

Un fenomeno del genere si può vedere facilmente in quella sorta di "buchi neri" che di tanto in tanto si vedono negli aeroporti: infili una moneta nella fessura e questa comincia a girare in tondo con raggio sempre più stretto e velocità sempre più elevata sino a piombare nel buco al centro (è un accrocchio simpatico e usato in genere per raccogliere fondi per beneficenza).
Qui sotto si può vedere una foto di quello che intendo.
http://terpconnect.umd.edu/~cpalumbo/Ma ... enter.html

Tornando al palloncino, e dovendo calcolare lo spazio percorso dalla moneta la cosa più semplice sarebbe contare quanti giri fa' e poi stimare il raggio medio. Avendo misurato solo il tempo così sui due piedi non saprei...

P.S. Come si fa a allegare le immagini con il nuovo forum?

ciao

[Info]

cacchio..... e`vero.... avevo visto anch'io quegli strani coni in cui puoi lanciare le monete... Personalmente non mi spiego perche`ma e`vero, ho provato anch'io a seguire qualche moneta fino al centro e acceleravano scendendo.

[Pasquale]

Si Franco, l'ho visto e ci ho giocato con 1 centesimo, considerati i tempi e lo spread.
Lì, man mano che la moneta scende di quota, aumenta la pendenza e la velocità di rotazione, mentre diminuisce la circonferenza, per cui la moneta diventa velocissima ed alla fine pare che non voglia mai entrare nel buco.

Tuttavia vorrei fare una considerazione: poniamo che la moneta abbia una velocità di rotolamento costante; se con tale velocità deve percorrere uno spazio minore di un altro precedente, cosa vediamo?
Ogni giro precedente, maggiore di quello successivo, viene percorso in un tempo x, mentre successivamente, nello stesso tempo, la moneta fa più giri e ci sembra che sia più veloce, contrariamente all'assunto iniziale.

Altra considerazione: nel suo rotolamento, fra le varie forze in gioco, fra cui quella inerziale dovuta alla spinta iniziale, vi è senz'altro una componente gravitazionale che tende ad accelerare il movimento. In un moto accelerato la velocità è costante o variabile nell'unità di tempo?

Nel quesito posto da Gianfranco, che tace e poi tirerà fuori la bomba, viene dato il diametro della moneta ed il tempo di caduta, secondo un percorso a spirale, i cui anelli non sappiamo quanto siano fra loro distanti e se tale distanza sia costante o variabile, come penso che sia.

Dunque meditate, meditate gente.

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Per inserire un'immagine, io faccio così:

sotto la finestra di scrittura, in basso a sinistra, si vedono "Opzioni" e "Invia allegato"
clicca su quest'ultimo e poi "Scegli file"
cerca il nome del file e clicca due volte: il nome appare nella finestrella accanto a "Scegli file"
Clicca quindi su "Aggiungi file" e poi su "Inserisci in linea con il testo"
infine, su "Anteprima" per controllare il risultato

Praticamente, devi fare così:

buconero.jpg (9.74 KiB) Visto 8551 volte

Domanda per Pietro: la scritta che accompagna l'immagine, non può essere eliminata?

Prova di immagine GIF:

Aereo_di_carta.gif (34.65 KiB) Visto 8551 volte

[Pasquale]

Stavo pensando che la monetina da 10 cent. potrebbe essere sostituita più utilmente da una sferetta.
Secondo me, abbiamo a che fare in un primo momento con la forza centrifuga, in funzione antigravità, e con la gravità dopo lo stop alla spinta iniziale; in sostanza, senza considerare l'attrito con la parete del palloncino, l'elemento qualificante dell'esperimento è la gravità.
Maggiore è la spinta iniziale, maggiore è il tempo di caduta e lo spazio percorso ed allora potremmo considerare "il giochino" come una simulazione della caduta libera di un corpo da un'altezza x, anche se noi vediamo un tracciato a forma di spirale, che è tale solo per la componente centrifuga.
Voglio dire che l'aver messo la pallina (o moneta che sia) in movimento rotatorio, equivale ad averla lanciata in alto; terminata la spinta, il corpo cade solo grazie alla forza di gravità, con moto dunque accelerato.
Secondo questa impostazione, se il corpo in questione impiega un tempo t per terminare la corsa, allora
lo spazio percorso sarà $s=\frac{1}{2}at^2=4,9t^2$, con t espresso in secondi ed s in metri.

Se può fa? Al limite sarebbero da apportare solo aggiustamenti alla costante 4,9. Come?
Essendo noto il raggio equatoriale del palloncino e la durata della corsa, riprendendo l'esperimento con una telecamera e riproducendolo al rallentatore, si potrebbe conteggiare il numero di giri effettuati e quindi calcolare la distanza fra gli anelli di spirale; da qui ogni anello potrebbe essere assimilato ad una circonferenza, essendo ormai noto il numero di circonferenze ed i loro relativi diametri; la somma di tali misure sarebbe il dato che si vuole calcolare che andrebbe confrontato con la formula del corpo in caduta libera.

[Gianfranco]

Ciao a tutti,
vi ringrazio per i numerosi spunti che mi avete dato, soprattutto quello dei buchi neri: un buon collegamento. Però, nell'esempio dei buchi neri, o più semplicemente di un pianeta con la sua forza di gravità, la cavità dovrebbe essere a forma di tromba rovesciata. Ha una curvatura diversa rispetto a quella del palloncino.

Purtroppo non ho nessuna "bomba" da tirare fuori. E' una domanda che mi hanno fatto i miei alunni e per la quale mi piacerebbe trovare un metodo semplice e grossolano di valutazione della distanza percorsa.
Nel problema effettivamente mancano dei dati perché non li so. Più che una risposta numerica, mi interessa una strategia.
Che cosa abbiamo fatto (o potremmo fare) con gli alunni?
1) misurare la circonferenza del palloncino a varie altezze, con un metro flessibile (non serve la formula);
2) tracciare dei segni sul palloncino gonfio con un pennarello;
3) tentare di contare il numero di giri che fa la moneta a varie quote (ma non ci siamo riusciti quando la moneta è molto veloce, come superare questa difficoltà?).
4) usare un cronometro;
5) usare una macchina fotografica per fare foto o filmati.
6) ???

La moneta da 10 cent è adatta perché ha il bordo dentellato ed è abbastanza piccola da non far scoppiare il palloncino.
Grazie al bordo dentellato, essa genera un suono di frequenza tanto più alta quanto più è veloce.
Quindi, sapendo il numero dei dentelli e il diametro della moneta, possiamo calcolare (approssimativamente) la sua velocità istantanea usando una... fisarmonica come strumento di misura: basta trovare la nota giusta!
Ascoltando la frequenza del suono a orecchio, posso dirvi con buona certezza che la moneta, scendendo, non accelera ma rallenta continuamente fino a fermarsi.
Se la decelerazione fosse costante, potremmo anche misurare lo spazio percorso in un certo tempo. Ma non ne siamo sicuri.

Pasquale ha detto

Voglio dire che l'aver messo la pallina (o moneta che sia) in movimento rotatorio, equivale ad averla lanciata in alto; terminata la spinta, il corpo cade solo grazie alla forza di gravità, con moto dunque accelerato.
Secondo questa impostazione, se il corpo in questione impiega un tempo t per terminare la corsa, allora
lo spazio percorso sarà s=\frac{1}{2}at^2=4,9t^2, con t espresso in secondi ed s in metri.

Supponendo che rallenti in modo costante, si può fare.

Essendo noto il raggio equatoriale del palloncino e la durata della corsa, riprendendo l'esperimento con una telecamera e riproducendolo al rallentatore, si potrebbe conteggiare il numero di giri effettuati e quindi calcolare la distanza fra gli anelli di spirale; da qui ogni anello potrebbe essere assimilato ad una circonferenza, essendo ormai noto il numero di circonferenze ed i loro relativi diametri; la somma di tali misure sarebbe il dato che si vuole calcolare che andrebbe confrontato con la formula del corpo in caduta libera.

Questa è un'altra buona idea. Sono in attesa di una macchina fotografica (fujfilm) poco costosa ma in grado di fare filmati a circa 600 fotogrammi/secondo. Mi sa che arriverà l'anno prossimo, ormai.

[Pasquale]

Gianfranco, io intendevo un filmato effettuato con una normale telecamera; quindi riportare il filmato su DVD, dopo averlo acquisito con un software tipo Pinnacle ad esempio, e visionarlo in TV con un lettore di DVD, che normalmente consente di rallentare la visione.

[delfo52]

tralasciando il fatto che la moneta giri, forse si può assimilare il caso a quella di un qualsiasi grave in caduta, munito anche di una componente di velocità orizzontale.
Come il classico colpo di cannone sparato orizzontalmente dall'alto di un castello.
Una volta libero, il grave prosegue con la stessa velocità orizzontale (trascuriamo la decelerazione causata dall'attrito dell'aria), mentre comincia a subire l'accelerazione di gravità, per cui il percorso risulta curvo; dopo un secondo sarà sceso di 5 metri, nel secondo secondo di altri 15, e così via.
Sapendo la velocità iniziale, il tempo di arrivo a terra, e l'altezza da cui è partita la palla di cannone, è possibile sapere a quale distanza tocca terra. O, sapendo la distanza di arrivo, e il tempo, risalire all'altezza, e così via.
Si può fare qualcosa di simile col pallone?

[panurgo]

Caro Gianfranco, ti spiacerebbe descrivere l'esperimento in maggior dettaglio? Non è forse vero che la moneta rotola sempre perpendicolare al piano tangente la superficie del palloncino? La moneta rallenta progressivamente? Quanto dura la discesa? Il suono prodotto è intenso o debole? Quanto varia la sua altezza dall'inizio alla fine: più o meno di un'ottava? ecc.

[Pasquale]

In fondo, per quanto in tensione, la parete del palloncino è sempre di gomma e penso che l'attrito non sia trascurabile.