10 cent nel palloncino

[Gianfranco]

Cari amici, ancora grazie per gli interventi, di cui sto tenendo conto, anche se non riesco a starvi dietro come di deve!

Pasquale, non è possibile ottenere risultati attendibili filmando la moneta con una normale telecamera a circa 30 fotogrammi/secondo. Infatti, quando la moneta è molto veloce, si ha un effetto mosso+stroboscopico che non permette di contare esattamente i giri fatti. (In realtà non ho una telecamera ma una fotocamera che fa anche filmati).

Enrico, ho intenzione di applicare un calcolo come quello che proponi tu ma ci manca ancora un dato essenziale, che è la velocità iniziale della moneta.

Panurgo, provo a (non) rispondere alle tue domande.
Tutto era cominciato con uno scherzetto che avevo proposto ai miei alunni: "Ho imprigionato una zanzara nel palloncino, sentite il rumore che fa volando?"
Doveva essere soltanto un momento di relax prima di cominciare la lezione vera e propria. Invece la cosa si è espansa e sono venute fuori alcune domande difficili tipo: quanto è veloce la moneta? quanto spazio percorre?...
Panurgo ha scritto:

Non è forse vero che la moneta rotola sempre perpendicolare al piano tangente la superficie del palloncino?
La moneta rallenta progressivamente?
Quanto dura la discesa?
Il suono prodotto è intenso o debole?
Quanto varia la sua altezza dall'inizio alla fine: più o meno di un'ottava?

Non è forse vero che la moneta rotola sempre perpendicolare al piano tangente la superficie del palloncino?
Dalle fotografie sembra (abbastanza) di sì.

La moneta rallenta progressivamente?
Rallenta, ma non so se la decelerazione è costante.

Quanto dura la discesa?
Dipende dalla velocità iniziale, nelle prove che abbiamo fatto, dura circa 1-2 minuti.
Dipende anche da come hai gonfiato il palloncino: con la pompetta dura di più, a fiato dura di meno, forse perchè la superficie interna, visibilmente bagnata, fa più attrito.

Il suono prodotto è intenso o debole?
Debole ma si percepisce con chiarezza in un'aula com 24 alunni che fanno "silenzio". (ci sono abbastanza decibel!)

Quanto varia la sua altezza dall'inizio alla fine: più o meno di un'ottava?
Ci stiamo lavorando assieme a un'alunna musicista. Stiamo confrontando il suono della moneta con il suono di un'onda quadra. Naturalmente tutto a "orecchio".
Come si vede dalla foto, il suono più alto si aggira dove c'è la mano della tastierista (re-mi) Devo però ancora identificare a quale ottava del pianoforte corrispondono.
Tra l'inizio e la fine del movimento c'è più di un'ottava (trascurando gli ultimi giri in cui la moneta rotola disordinatamente.)

moneta_pallone13.jpg (170.14 KiB) Visto 2285 volte

Tra le tante domande senza risposta, c'e n'è una che ha avuto una risposta. La moleta da 10 cent ha 40 dentelli o merli curvi.
Questo dato è importante per valutare la sua velocità iniziale.

moneta_pallone14.jpg (115.93 KiB) Visto 2285 volte

[panurgo]

Gianfranco, la dinamica di questo sistema è molto complessa (un misto di un frisbee e di un pendolino da rabdomanti). Se ci limitiamo alla cinematica, le cose sono molto più semplici.

La moneta produce un suono mentre rotola. L'analogia più comune che mi viene in mente sono quei tratti di strada a velocità controllata in cui le ruote delle macchine "suonano" quando passano su quelle griglie di rilievi paralleli.
Ogni volta che uno dei dentelli passa sulla superficie del palloncino dà un impulso: il treno di impulsi impartito dalla moneta fa vibrare la superficie del palloncino ad una frequenza precisa, $f\,=\,40\,\omega$, dove $\omega$ è il numero di giri che la moneta compie su se stessa in $1\,\text{s}$.

Questo significa che velocità di rotazione e frequenza del suono sono proporzionali: misurando la frequenza sei in grado di conoscere la velocità istantanea della moneta. Tieni presente che tra re e mi c'è una differenza di frequenza del $12\%$ circa, mentre la frequenza raddoppia per ogni ottava.

Per valutare l'ottava iniziale può esserti d'aiuto la considerazione che il diametro del pallone è circa $11$ volte quello della moneta (a giudicare dalla prima immagine da te postata): se ruoti il pallone con una frequenza di un giro al secondo, la moneta dovrebbe produrre un suono a $440\,\text{Hz}$, corrispondente al la centrale del pianoforte, quello con due tagli in testa sotto il rigo di sol oppure sulla riga superiore del rigo di fa. Naturalmente, $2$ giri al secondo, $880\,\text{Hz}$, $3$ giri al secondo, $1320\,\text{Hz}$ ecc.

Potresti provare a far girare la moneta a velocità costante e quindi (presumo) ad altezza costante: se il suono è un mi dell'ottava centrale il pallone dovrebbe girare a circa $1,5$ giri al secondo, corrispondenti a $90$ di metronomo.

Una sola considerazione di dinamica: la moneta rotola per cui è soggetta ad attrito statico. Sospetto due cose: la prima è che l'energia della moneta sia dissipata principalmente sotto forma di onde sonore; la seconda, che la presenza di umidità sulla superficie interna del pallone diminuisca l'attrito rendendo così difficile il rotolamento.

Ti avviso: tutto questo è pura intuizione. Devo procurarmi un palloncino per fare degli esperimenti in proprio...

[Gianfranco]

Panurgo, tenendo conto delle tue ultime osservazioni e di alcuni altri dati, ho scritto la seguente formula per calcolare la velocità tangenziale della moneta:
La velocità tangenziale della moneta (in metri al secondo) si ottiene applicando la seguente formula:

v = (f / n) · 3,14 · d

dove:

v = velocità della moneta;
f = frequenza del suono emesso dalla moneta;
n = numero di dentelli della moneta;
d = diametro della moneta espresso in metri.

Per esempio, se la frequenza del suono è 2349 Hz (Re7), allora la velocità della moneta è:

v = (2349/40) · 3,14 · 0,01975 = 3, 64 m/s che corrispondono a circa 13 km/h

Per quel che riguarda lo spazio totale percorso devo lavorarci ancora un po'.