Ho intenzione di rilanciare una vecchia (ma irrisolta, credo) sfida matematica, ma prima c'é bisogno di dimostrare un lemma.
Se scriviamo tutti i numeri interi da 1 a n, in una data base, dobbiamo adoperare ciascuna cifra un certo numero di volte.
Ad esempio, per scrivere i numeri da 1 a 100 in base 3,
1
2
10
11
12
20
21
22
100
abbiamo usato:
4 volte lo 0
6 volte il 2
7 volte l'1
Il lemma da dimostrare è questo:
Lemma dell'uno
Per scrivere i numeri interi da 1 a n (in tutte le basi?), la cifra utilizzata non meno di ogni altra cifra è l'1.
Gianfranco
Lemma dell'uno
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Gianfranco
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Consideriamo la base $b + 1$. Prendiamo il più grande numero di $k$ cifre: $\overbrace{bbb \cdots b}^{\script k}$
Con la convenzione di scrivere anche tutti gli zeri a sinistra, abbiamo l'intervallo $\overbrace{000 \cdots 0}^{\script k} \quad - \quad \overbrace{bbb \cdots b}^{\script k}$
Con considerazioni di simmetria si vede subito che ciascuna cifra è ripetuta lo stesso numero di volte $b^{\script k - 1}$: la cifra $1$ viene usata non meno delle altre.
La cifra $1$ si usa sempre prima delle successive $2$, $3$ ecc. quando si passa ai numeri con $k + 1$ cifre.
Per quel che riguarda la cifra $0$, il numero che ne implica di più nei successivi è $1\overbrace{000 \cdots 0}^{\script k}$: abbiamo $b^{\script k - 1} \/ + \/ 1$ volte la cifra $1$ e, scrivendo gli zeri a sinistra, $b^{\script k - 1} \/ + \/ k$ volte la cifra $0$.
Omettendo gli zeri a sinistra, ne perdiamo $b^{\script 0} + b^{\script 1} + \cdots + b^{\script k - 1}$, più che sufficienti a fare della cifra $1$ quella usata almeno al pari delle altre
SE&O
Con la convenzione di scrivere anche tutti gli zeri a sinistra, abbiamo l'intervallo $\overbrace{000 \cdots 0}^{\script k} \quad - \quad \overbrace{bbb \cdots b}^{\script k}$
Con considerazioni di simmetria si vede subito che ciascuna cifra è ripetuta lo stesso numero di volte $b^{\script k - 1}$: la cifra $1$ viene usata non meno delle altre.
La cifra $1$ si usa sempre prima delle successive $2$, $3$ ecc. quando si passa ai numeri con $k + 1$ cifre.
Per quel che riguarda la cifra $0$, il numero che ne implica di più nei successivi è $1\overbrace{000 \cdots 0}^{\script k}$: abbiamo $b^{\script k - 1} \/ + \/ 1$ volte la cifra $1$ e, scrivendo gli zeri a sinistra, $b^{\script k - 1} \/ + \/ k$ volte la cifra $0$.
Omettendo gli zeri a sinistra, ne perdiamo $b^{\script 0} + b^{\script 1} + \cdots + b^{\script k - 1}$, più che sufficienti a fare della cifra $1$ quella usata almeno al pari delle altre
SE&O
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
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Omettendo gli zeri a sinistra, ne perdiamo, in realtà, $b^{\script 0} + b^{\script 1} + \cdots + b^{\script k}$ (perché c'è uno zero in più a sinistra di ognuno dei numeri precedenti)panurgo ha scritto:Omettendo gli zeri a sinistra, ne perdiamo $b^{\script 0} + b^{\script 1} + \cdots + b^{\script k - 1}$
il panurgo
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Altro errore: abbiamo $k \/ b^{\script k - 1} \/ + \/ 1$ volte la cifra $1$ e, scrivendo gli zeri a sinistra, $k \/ b^{\script k - 1} \/ + \/ k$ volte la cifra $0$panurgo ha scritto:abbiamo $b^{\script k - 1} \/ + \/ 1$ volte la cifra $1$ e, scrivendo gli zeri a sinistra, $b^{\script k - 1} \/ + \/ k$ volte la cifra $0$
il panurgo
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"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
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questo dovrebbe convincere che gli zeri aggiunti all'ultima riga sono sicuramente meno di quelli tolti perché a sinistra
$\begin{array}{ccc20cccC20C20C20C30C20CC20}0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 2 \\\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\0 & b & \cdots & b & b & b \\\hline \\1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\\end{array}$
Ad ogni colonna tranne che alla prima si aggiunge uno zero, mentre gli zeri tolti sono $1$ per la prima colonna a destra, $b$ per la seconda, $b^{\script 2}$ per la terza ecc.
$\begin{array}{ccc20cccC20C20C20C30C20CC20}0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 2 \\\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\0 & b & \cdots & b & b & b \\\hline \\1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\\end{array}$
Ad ogni colonna tranne che alla prima si aggiunge uno zero, mentre gli zeri tolti sono $1$ per la prima colonna a destra, $b$ per la seconda, $b^{\script 2}$ per la terza ecc.
il panurgo
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