Figure e cuori

[panurgo]

Furegando nel sito francese di franco ho trovato questo problemino

Pietro propone a Paolo il seguente gioco: entrambi i giocatori debbono pagare una posta uguale; da un normale mazzo di carte francesi (ben mescolato) viene scoperta una carta alla volta; Pietro segna un punto ogni volta che esce una figura mentre Paolo lo fa ogni volta che esce una carta di cuori; Pietro vince se, in qualsiasi momento, si trova ad avere due punti più di Paolo e se ciò non accade, vince Paolo.
Fa bene Paolo ad accettare di giocare questo gioco?

Spero bene che non sia già stato postato nel forum: è diventato troppo grosso per esserne sicuri con una ricerca veloce...

[delfo52]

Se le carte francesi sono le piacentine, con 10 carte per seme, Pietro ha 9 carte vincenti, e Paolo solo 7; a fine mazzo, per forza Pietro è a +2
se invece le carte francesi hanno 13 carte per seme,è Paolo ad avere le migliori chance sul singolo estratto,(10/52 contro 9/52) e il gioco è differente. Prima di esaurire il mazzo, Pietro può trovarsi a +2; a occhio direi in meno della metà dei casi, ma chissà...

[franco]

Ho fatto qualche conto e mi sembra che Paolo abbia un minimo vantaggio (50,3% contro 49,7%).
Voglio però fare qualche verifica e pensare a come tradurre il ragionamento che ho fatto in un qualcosa che possa essere comprensibile.

ciao

[Pasquale]

Secondo me Pietro è più avvantaggiato di molto, però prima di rendere definitivo tale parere avrei bisogno di un chiarimento: quando viene scoperta una figura di cuori, a chi viene assegnato il punto? Ad ambedue, a nessuno o a chi dei due?

[panurgo]

Pietro segna un punto per la figura, Paolo uno per il cuore...

[delfo52]

in realtà credo si possa semplificare il gioco, utilizzando solo le carte utili : le nove figure non di cuori, e le cuori non figure (sette o dieci che siano).

[Quelo]

Per come la vedo io (le carte francesi dovrebbero essere 52), ci sono 12 figure a favore di Pietro e 13 cuori a favore di Paolo.
La probabilità che esca una figura o un cuori e quasi la stessa, ma Pietro ha il vantaggio che gli basta segnare 2 punti in più per vincere (se ad esempio escono due figure prima di un cuori Pietro ha già vinto).
Da una simulazione su 1 milione di partite, Pietro risulta vincente in oltre il 60% dei casi.

[franco]

Ho rifatto i conti e, come temevo, avevo sbagliato.

Il favorito mi risulta Pietro, con una probabilità di vittoria del 56,191%.

Ci sono arrivato considerando intanto le sole 19 carte utili (9 figure non a cuori e 10 cuori non figure); tutte le altre carte non cambiano la situazione.
Pietro vince quando si trova con 2 punti in più rispetto a Paolo il quale invece vince nel momento in cui raggiunge 8 punti (Pietro può arrivare al massimo a 9).

A questo punto ho costruito questo "albero":


In giallo sono le chiusure vittoriose di Pietro, in celeste quelle di Paolo.

La probabilità di vittoria di Pietro mi risulta quindi:
$P = f^2 + 2 f^3 c + 5 f^4 c^2 + 14 f^5 c^3 + 42 f^6 c^4 + 132 f^7 c^5 + 429 f^8 c^6 + 1430 f^9 c^7 = 0,56191$

dove $f = 9 / 19$ e $c = 10 / 19$

A mo' di verifica ho sommato anche le probabilità delle chiusure di Paolo e il conto mi torna (0,43809).

Non ho provato a trovare una formula più compatta e non escludo che i coefficienti del polinomio siano esprimibili in maniera più elegante!

ciao

[Pasquale]

Considerato che esistono casi in cui ad ambedue viene attribuito un punto, la mia simulazione vede Pietro favorito con una percentuale approssimativa del 54,53% rispetto al 45,47% di Paolo.
Operando solo sui casi utili, come suggerito da Delfo, il risultato è simile al precedente con un 54,44% contro il 45,56%: praticamente lo stesso, considerata l'approssimazione delle simulazioni.

[panurgo]

Fatemi sapere quando vi siete stufati e volete vedere la mia soluzione...

[delfo52]

così...a naso...mi vien da pensare che il risultato varia, cambiando il numero di carte con cui si gioca.
Si potrebbero usare due mazzi, o dieci, o infiniti mazzi. e si potrebbe interrompere il gioco dopo n carte, in modo che ogni estrazione abbia, idealmente, la stessa percentuale di risultati favorevoli a Pietro e a Paolo

[franco]

Fatemi sapere quando vi siete stufati e volete vedere la mia soluzione...

Aspetta ancora un poco.

Mi sono appena reso conto di aver fatto un errore enorme proprio di concetto.
Ho in mente come rifare il calcolo (anche se solo numerico e non analitico) ma ho bisogno di un po' di tempo.

ciao

[franco]

L'errore stava nel fatto che le probabilità f e c non rimangono costanti ma si modificano in funzione dei risultati precedenti.
Per intenderci, all'inizio le figure sono 9 su 19 (f=9/19); se viene fuori una figura la probabilità f per la volta dopo scende a 8/18, se invece esce un cuori f sale a 9/18.

Ho quindi ridisegnato l'albero mettendo in ogni riquadro sia il punteggio che le carte residue in modo da calcolare correttamente le probabilità del turno successivo:


L'albero completo mi viene così:



e la probabilità di vittoria delle figure, pari alla somma delle caselle in giallo mi risulta pari al 54,23%

... sempre che non abbia sbagliato qualcos'altro

ciao

[panurgo]

Qualcun altro vuole tempo?

[Pasquale]

Ma si Pan, chi va piano va sano e va lontano, direi di aspettare.