Posto la bozza della seconda parte... Non è nè completa, nè corretta, ma chi conosce il calcolo integrale potrà capire certamente il concetto che sta alla base della mia dimostrazione (che non è alto che la quinta essenza del calcolo integrale).
La questione è quindi semplice:
1) l'area sotto una curva è calcolabile ESATTAMENTE con l'integrale definito, ad esempio fra 0 ed A
2) Le potenze di interi hanno una caratteristica particolare:
Siano A ed n interi:
A^n è calcolabile in modo "discreto", come sommatoria fra 1 ed A di "colonnine" di base unitaria ed altezza variabile, ma intera Y = M^n-(M-1)^n
Oppure come integrale fra 0 ed A.
3) FERMAT per il Verduraio erudito sul calcolo infinitesimale...
Siano
A<B<C interi, n>2 intero
Problema1:
Se mettiamo le due aree sui piatti di una bilancia (infinitamente precisa) è chiaro che essendo esattamente uguali l'indice resterà al centro in quanto "pesano" uguale.
Problema 2 :
E se, invece, su un piatto ci mettiamo un'area C^n e sull'altro ne mettiamo un'altra più piccola A^n, qual'è l'area mancante per equilibrare la bilancia?
C^n = A^n + (?)
E in particolare dato che quest'area è certamente di valore intero X, dato che C ed A sono interi, può X essere una potenza di intero B ?
La risposta è NO per quanto segue: la condizione (invisibile agli occhi dei vecchi matematici, cioè quelli che precedevano Fermat e tutti quelli che vecchi sono rimasti anche dopo di lui... ) è che L'UGUAGLIANZA DELLE AREE è sufficiente a PAREGGIARE LA BILANCIA, quando queste sono in NUMERO UGUALE SU ENTRABI I PIATTI.
Ma il verduraio erudito (e Fermat prima di lui) ha ben capito che la bilancia A DUE PIATTI che sta usando (in quanto teorica e priva di attriti) HA PRECISIONE INFINITA... quindi se suL PIATTO DI SINISTRA metto un'area calcolata con precisione INFINITESIMALE, anche sull'altro dovrò mettere un'area calcolata CON LA STESSA PRECISIONE, o LA BILANCIA CADRA' DALL'UNO O DALL'ALTRO LATO...
Fermat nota quindi che LE PRIMITIVE DELLE POTENZE DI INTERI sono AREE particolari POSIZIONATE IN MODO BEN DEFINITO SUGLI ASSI e che se e' possibile per n=2 trattarle come TRIANGOLI dato che la primitiva è una retta, quindi l'area che sottende è la somma di triangoli, quindi è possibile FACILMENTE SCOMPORRE LE AREE IN TRIANGOLI E POGGIARE QUESTI TRIANGOLI A PIACIMENTO SULL'UNO O SULL'ALTRO PIATTO A PIACIMENTO FINO A PAREGGIARE LA BILANCIA...
NON E' POSSIBILE FARE LA STESSA COSA CON LE PRIMITIVE CURVE, IN QUANTO PER CALCOLARE ESATTAMENTE L'AREA SOTTO UNA CURVA, è NECESSARIO passare al calcolo infinitesimale. QUINDI SE TAGLIO LA CURVA IN PIU' PARTI A MENO DI NON AVERE A DISPOSIZIONE UN CALIBRO ED UNA FORBICE A PRECISIONE INFINITA, non riuscirò mai ad ottenere due o più aree uguali INTERE, a precisine infinita.
Cioè ciascuna delle due o più aree avrà base di lunghezza A RPECISIONE INFINITESIMALE.
Come si vede da quanto allegato una volta "trasformata" le aree sotto la curva primitiva in un'area "discretizzata" cioè ad esempio trasformata in una somma di colonnine a base unitarie di altezza y= M^n-(M-1)^n sarà necessario, se vogliamo UTILIZZARE UNA ASCISSA COMUNE, che le aree ROSSE eccedenti, PAREGGINO ESATTAMENTE quelle VERDI MANCANTI.
Ma questo non è possibile PER DEFINIZIONE !
NON è POSSIBILE, a meno di passare agli infinitesimi, TROVARE LA POSIZIONE della pila di colonnine lungo X, tale per cui NON SOLO CI SIA UNA EUQIVALENZA DI AREE, MA SI POSSA UTILIZZARE UNA UNICA COMUNE VARIABILE X
Allo stesso modo se è possibile soddisfare UNA CONDIZIONE, cioè equivalenza di aree negli infinitesimi e negli interi, NON è POSSIBILE SODDISFARNE DI PIU', cioè trovare un'altra area DELLA STESSA FORMA A PRIMITIVA CURVA, B^n che sia rappresentabile a sua volta MEDIANTE BASE FINITA (intera o razionale).
QUINDI NON E' POSSIBILE, nè negli interi, nè nei razionali !, trovare un B^n con B intero o razionale che soddisfi l'uguaglianza.
Scusate, so che è difficile seguirmi, ma sistemare tutto in modo comprensibile con il poco tempo a disposizione i richiederà moltissimo tempo...
Torno quindi a chiarire che PER LA STESSA RAGIONE, A^n = somma di n quadrati... !!!
Cioè c'è una interessante verità matematica: molto spesso la matematica ci restituisce "infinito" ad una operazione, quando il problema non e' posto in modo corretto, CIOè IL NUMERO DI INCOGNITE SUPERA QUELLO DELLE EQUAZIONI A DISPOSIZIONE, o quando si cerca di INSERIRE NELLO STESSO CONTO GEOMETRICO, GRANDEZZE ORTOGONALI FRA LORO (p.es. Tangente di 90°).
... Lo stesso dicasi per Circonferenza e diametro etc.etc.etc....
LA SOLUZIONE AL PROBLEMA FISICO:
Se ci accontentassimo di ottenere una misura "media", cioè di far si che MEDIAMENTE l'ago della bilancia resti centrato...
PER PAREGGIARE UN PESO A PRECISIONE INFINITESIMALE SU UN PIATTO DELLA BILANCIA, BASTA TOGLIERE E METTERE IN CONTINUAZIONE E CON CADENZA OPPORTUNA UN TRIANGOLINO SUL PIATTO DELLA BILANCIA dal LATO DISCRETO....
...da quì: nulla si crea, nulla si distrugge, ma tutto si trasforma in un continuo dis-equilibrio dinamico...
Ciao
Stefano