Quante volte...

[Br1]

...diventa un quadrato perfetto l'espressione
$n^{\script 2}+15n-7$ con variabile intera

Penso che sia più simpatico e istruttivo cercare,
giustificare la risposta con metodi diversi da
quelli tipicamente scolastici (per esempio, non
passando per la risoluzione dell'equazione
quadratica).

. . .


Quzinquiz

Prendiamo la sequenza:

24, 96, 240, 480, 840, 1344, 2016, 2880, 3960, ...

Supponiamo di averne indovinata la regola di
formazione. Quale potrebbe essere una sua
caratteristica e perché

[Jumpy94]

Dovrebbe essere ...,5280, 6864, 8736, 10916, 13428,...ma cosa intendi per caratteristica. Dobbiamo considerare i numeri per se a prescindere dalla loro formazione? C'entrano qualcosa con il quesito che hai posto per primo?


Ciao.
Giampietro
Nardone

[Br1]

Ciao, Giampietro!

Quest'ultimo quesito è indipendente da
quello precedente.
Per caratteristica intendo una proprietà
che coinvolga tutti i termini, qualcosa
che si possa fare con essi per arrivare a
risultati in qualche modo simili.
Butto giù un esempio. Consideriamo la
sequenza più familiare dei numeri pari:
0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...
Una caratteristica di tale sequenza
potrebbe essere questa: "Presi due
termini contigui qualunque, se ne facciamo
il prodotto e poi aggiungiamo 1, il risultato
è sempre un quadrato perfetto".
(Questa proprietà è nota e dimostrarla è
semplice.)
Ma è chiaro che ciascuno di noi, guardando
la serie dei numeri pari, potrebbe ricavarne
ben altre ispirazioni...

Sia per il completamento della successione
che ho proposto, sia per le sue caratteristiche,
non è detto che l'idea che è venuta a me sia
l'unica trattabile.

Come hai fatto, Giampietro, a trovare i
termini che indichi?

[Jumpy94]

Ecco lo schema che mi ha permesso di trovare i successivi numeri della serie, solo che non ho tempo per formalizzare il tutto in formule (anche se vedo che non interessa questo a te Br1). Tu hai detto:

Per caratteristica intendo una proprietà
che coinvolga tutti i termini, qualcosa
che si possa fare con essi per arrivare a
risultati in qualche modo simili.

Simili a cosa precisamente....credo che intendi più metodi per le stesse conclusioni.

Comunque in questo momento un "Motore immobile"(un'altra trovata di Aristorele ) mi sta fondendo il cervello .....qualcun'altro più lucido di me saprà risponderti.

Ciao!!!

[panurgo]

$4 \/ n \/ \left ( {n \/ - \/ 1} \right ) \/ \left ( {n \/ - \/ 2} \right )$?

[Jumpy94]

...no comment....




Scusa la mia poca conoscenza......c'entra qualcosa l'interpolazione di Lagrange con la tua formula? (se ho detto una stronzata fucilatemi....)

[Br1]

Commentcomment... invece

Benissimo!

Avete entrambi trovato la regola di formazione
a cui anch'io ho pensato (solo una svista ha
portato Giampietro a sbagliare gli ultimi due
termini proposti).

Detto questo, allora, su quei numeri possiamo
fare alcune operazioni che portano sempre a
uno stesso tipo di risultato...

(Perdonami, Giampietro, magari ti scrivo in
privato, ma se dicessi qualcosa di più sarebbe
come dirne la soluzione.)

Buon fine settimana, intanto!

[Sancho Panza]

L'espressione: n² + 15n - 7 è un quadrato perfetto per solo 4 valori interi di n.

Dimostrazione

n² + 15n - 7 = (n + 7)² + (n - 56)

quindi per n = 56 è uguale a (63)²

per n>56

(n + 7)² n² + 15n - 7 = (n + 8 )² - (n + 71) > (n + 7)² = (n + 8 )² - (2n + 15)

e tra n=-71 e n=56 esistono solo le soluzioni n=-16 e n=1


Per quanto riguarda il Quizinquiz,

io penso che possa essere scritto in 4 forme distinte:

come polinomio di terzo grado: $4n^3 + 12n^2 + 8n$

come il quadruplo del prodotto di termini consecutivi: $4n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)$

come 24 volte la somma dei primi n numeri triangolari: $24\sum\limits_{k = 1}^n {\sum\limits_{i = 1}^k i }$

o nel seguente modo: $4\left( {n + 1} \right)^3 - 4\left( {n + 1} \right)$

[Gianfranco]

Complimenti Sancho,

aggiungo queste modestissime precisazioni:

1) l'espressione può essere vista come l'equazione di una parabola che ha l'asse di simmetria passante che taglia l'asse x nel punto -7,5

2) per la simmetria, SE diventa un quadrato, lo diventa in un numero pari di volte

3) per ogni soluzione che trovo, automaticamente trovo anche la simmetrica rispetto al punto -7,5

4) n=1 risulta subito evidente, e da questa si ricava la simmetrica n=-16

5) dalla tua bellissima soluzione n=56, si ricava la simmetrica n=-71

Chiedo scusa ma essendo un po' addormentato, non capisco bene come dimostri che non ci sono altre soluzioni.

Gianfranco

[Sancho Panza]

Ieri sera mi sono dimenticato di indicare quali siano le caratteristiche di questa sequenza.

Chiamando:
$T_n$ il numero triangolare n-esimo
e $S_n$ il termine n-esimo della sequenza
e considerando $S_0 = 0$

si ricava facilmente (da quanto detto nel mio precedente messaggio) che per n intero positivo:
$\frac{{S_n - S_{n - 1} }}{{24}} = T_n$

e

$\frac{{S_n }}{{n + 2}} = 8*T_n$

Saludos amigos,
Sancho Panza

[Sancho Panza]

Per Gianfranco:

per la ragione che ho dimostrato che se n56 vale la seguente disequazione:

(n + 7)² < n² + 15n - 7 < (n + 8 )²

Forse l'ho spiegato in maniera confusa, purtroppo tendo a saltare i passaggi nelle mie dimostrazioni.

[Br1]

Ottimo

Riguardo al primo problema, in effetti, si
possono stabilire diverse disequazioni del
tipo indicato da Sancho, con le quali
intercettare un numero limitato di quadrati
da confrontare con l'espressione data.
Giusto per dare solo un cenno, due
soluzioni si possono trovare facilmente
osservando che, per n positivo:
(n+1)² < n² + 15n - 7 < (n + 8 )²
e con analoghe limitazioni si trovano le
altre due soluzioni.

Per quanto riguarda la sequenza, invece,
un'altra sua caratteristica molto semplice
ma non ovvia (anche se si può giustificare
facilmente) è questa: La somma dei primi
termini a partire dal primo (che potrebbe
essere anche zero) differisce sempre di
un'unità da un quadrato perfetto.
Quella sequenza, quindi, è intimamente
connessa a questa famosa proprietà:
Se aggiungiamo 1 al prodotto di quattro
numeri interi consecutivi otteniamo sempre
un quadrato perfetto.