Le biglie

[Jumpy94]

Mettiamo in una scatola 13 biglie bianche e 15 nere. Abbiamo anche fuori dalla scatola 28 biglie nere a disposizione. Togliamo due bilgie dalla scatola. Se hanno colori diversi , rimettiamo la biglia bianca nella scatola. Se hanno lo stesso colore, mettiamo una biglia nera nella scatola. Continuiamo, fino a quando rimane una sola biglia nella scatola.Qual è il suo colore?

[delfo52]

prima di mettermi a pensare, propongo una seconda domanda sullo stesso scenario/quesito: sono proprio necessarie le 28 biglie nere di scorta? a mio parere dovrebbero bastarne molto meno....

[Jumpy94]

Hai ragione, ma per risolvere il problema ti devi basare su un altro aspetto.

[jepa]

Mmmm , secondo me essendo le biglie bianche 13 e potendo togliere le biglie bianche per forza due alla volta, cioè quando prelevi 2 biglie bianche e di conseguenza ne metti dentro una nera, alla fine rimane dentro la scatola una biglia bianca e un numero imprecisato di biglie nere variabile statisticamente. A quel punto giungerai dopo un certo numero di prelievi ad avere per forza una sola biglia bianca ed una sola nera. Pertanto rimane nella scatola la biglia bianca!!
A meno di stupidaggini da parte mia....
Saluti a tutti

[Jumpy94]

Giusto jepa . La questione sta prorprio nel fatto che le biglie bianche possono essere prelevate solo a coppie, per ciò, essendo partiti da un numero dispari di biglie bianche, non potrà alla fine che rimanerne una.

[delfo52]

ricostruendo l'albero delle possibilità a ritroso, abbiamo visto che quando rimane una sola biglia, è per forza B
quando le biglie sono due , sono per forza BN
quando sono tre, sono per forza BBB o BNN
risalendo il numero di stati possibili aumenta
Di contro, facendo il processo in avanti, a partire da 13B 15N, già dopo il primo passaggio, abbiamo tre possibili scenari (13B 14N ; 11B 16N ; 13B 14N)...
le domande sono due:
-a quale passaggio è massima la "diversità possibile" ?
-6 biglie nere aggiuntive sono sufficienti ?

[jepa]

Mmm, quì la cosa si complica
Comunque, si, a meno che le biglie tolte dalla scatola non si buttino, 6 biglie nere sono per forza sufficienti e corrispondono a prendere per prime le 6 coppie di biglie bianche,mentre il minimo di biglie nere necessarie è zero! Per l'altro quesito mi riservo di non rispondere ho il cervello in pausa festiva. Oh ci penso cmq!

[jepa]

Ah beh, il massimo della diversità possibile si verifica al sesto passaggio nell'ipotesi che abbiamo preso 6 coppie di biglie bianche e si avrà 1B e 21N.
ciao

[Jumpy94]

Le biglie tolte non vengono considerate più (nel problema non si menziona questo). Comunque, se nel peggiore dei casi mi capitano di fila tutte le coppie nere e poi tutte le coppie bianche, e poi anche quelle delle biglie nere che intanto abbiamo messo, il massimo numero di biglie è 40. Ponendo che prendiamo tutte le coppie "juventine", come ha detto jepa è zero.

[delfo52]

la mia domanda sulla "diversità" non voleva fare riferimento allo sbilanciamento cromatico, ma alla molteplicità degli stati posssibili.
Al tempo zero: abbiamo una configurazione possibile
al tempo 1 , ne abbiamo tre............
.........
.....al tempo 25, abbiamo due sondizioni possibili
al tempo 26, c'è solo una possibilità
idem al 27esimo step

se scrivessimo in un foglio, ad ogni rigo, la serie delle possibili distribuzioni, quanto deve essere largo il foglio? a che altezza?

[jepa]

Ah non avevo capito scusa Delfo, e visto che a sto punto serve pensare, come avevo detto prima di rispondere, mi prendo mio figlio e vado al mare, ciao a tutti a stasera
ps: ma il foglio è di carta o di excel

[Jumpy94]

Secondo me, il massimo numero di diversibilità è tre. Ad ogni "step"(è come se stessimo in palestra ) possiamo avere o una coppia di bianche, o una coppia di nere, o una coppia mista. Da cui ci risulteranno le tre configurazioni(questo secondo quanto ho capito!).


Ciao.
Giampietro.

[delfo52]

correggo un mio post precedente
al tempo zero : 13-15 obbligato
al tempo uno: 13-14 o 11-16 (2 possibilità)
al tempo tre: 13-13 11-15 9-17 (3 chances)
al tempo quattro : 13-12 11-14 9-16 7-18 (4)
...............
al tempo 25 : 3-0 1-2 (2)
al tempo 26 : 1-1 (obbligato)
alla fine : 1-0 obbligato

[Jumpy94]

Ho controllato che per i tempi 7,8,9,10,11,12 abbiamo ben 12 possibilità. Dopo il dodicesimo tempo, le possibilità decrescono.

[Gianfranco]

Ciao a tutti

Se ho ben capito il testo del problema...

...per rispondere alla domanda di Enrico ho fatto le seguenti considerazioni:

a) partiamo da una situazione iniziale (5B, 4N) e disegniamo il grafo delle possibili evoluzioni;

b) a ogni mossa il grafo si dirama (al max) in due vie nel modo seguente:

- caso a): se pesco BB allora nella scatola le bianche diminuiscono di 2 e le nere aumentano di 1 (-2B+1N)

- caso b) se pesco NN oppure BN allora nella scatola le bianche rimangono come sono e le nere diminuiscono di 1 (-1N);

c) in figura 1 si vede lo sviluppo del grafo in grande.

d) in figura 2 si vede il grafo completo in piccolo.

In questo esempio la sequenza dei casi possibili è:
1,2,3,3,3,2,2,1,1,0
e il gioco si risolve al max alla decima mossa.

Analizzando lo schema, si scopre che può essere generalizzato al caso di (n,m) biglie.

In figura 3 ad esempio ho tracciato lo schema per (13,15)

La sequenza dei casi possibili è:
1,2,3,4,5,6,7,7,7,7,7,7,7,7,7,6,6,5,5,4,4,3,3,2,2,1,1,0

DOMANDA.
Data la coppia (n,m) (numero B, numero N), come è possibile (?) determinare con semplici formule:

a) la seequenza dei casi possibili;

b) il numero max di mosse in cui si risolve il gioco?

Salvo errori e omissioni

Gianfranco

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