Le biglie

[panurgo]

Caro Gianfranco, la figura corretta è questa



Infatti, quando arrivi a zero nere sei costretto a pescare due bianche e il gioco finisce sempre sull'ultima bianca in 27 mosse.

Se il numero di bianche è dispari il gioco finisce sempre in un numero di mosse pari al numero totale di palline meno 1.

se&o

[Jumpy94]

Prima di tutto complimenti per la rappresentazione grafica del problema Gianfranco, mi è piaciuta tantissimo. Questo mi ha permesso di risolvere la seconda domanda .
Come il problema che ho postato, pongo $n<m$ ed $n,m$ dispari(tenterò forse domani il caso geneico, oggi sono dovuto andare all'incontro scuola famiglia ). Il numero di mosse massimo che dobbiamo fare è : $S=m+n$, dove $S$ sono le mosse, semplicissimo ......se esatto . Riguardo alla prima domanda ho in mente di creare una funzione definita a tratti, nella variabile $x$ che indica lo step che di cui vogliamo calcolare le possibilità (questa volta spero di azzeccarle )

[delfo52]

a prescindere dalla distribuzione dei due colori, è evidente che ad ogni mossa le biglie diminuiscono di una unità, per cui il numero totale di mosse è comunque obbligato.
Per certi versi questa considerazione mi pare simile alla soluzione del noto problema del torneo di tennis ad eliminazione diretta. Se il numero dei partecipanti non è potenza di 2, esistono varie possibilità di "fare il tabellone", promuovendo al secondo o al terzo turno alcuni giocatori. Nessun arzigogolo però modifica il nuemro di partite da giocare in totale, poichè in ogni confronto uno e un solo giocatore viene eliminato e alla fine tutti, escluso il vincitore, avranno subito una sconfitta.

[Jumpy94]

Ho trovato questa funzione che permette di ricavare il numero di possibilità a partire dallo step desiderato. Non è originale, ma è quasi al limite delle mie capacità (visto che a scuola non studio analisi, sono un autodidatta ). Come prima pongo $n<m$ ed $n,m$ numeri dispari.
$f(x)=\left\{ \begin{array}{lll} x & se \qquad x<\frac{n+1}{2} \\ \frac{n+1}{2} & se \qquad \frac{n+1}{2}\leq x\leq m\\ \frac{n+1}{2}-\left(\left[\frac{i}{2}\right]+k \right)& se \qquad x=m+i\\ \end{array}\right.$
Dove la variabile $x$ indica il tempo (o lo step) nel quale si vogliono calcolare le possibilità. $i=1,2,3,\ldots,n$ mentre $k=\left\{ \begin{array}{ll} 1 & {se \qquad i \qquad e' \qquad dispari} \\ 0 & se \qquad i \qquad \qquad e' \qquad pari\\ \end{array}\right.$. Spero (anzi ne sono certo) voi abbiate fatto di meglio, così da potermi dare qualtre dritta

[delfo52]

mi piace Jumpy il tuo interesse a trovare formule assolutamente inutili !
Lo dico sinceramente; penso che sia fondamentale questo spirito di "ricerca" affinchè la matematica possa risultare piacevole e interessante.
Molti molti anni fa, quando avevo l'età di J94, definii tale tipo di studio "filoponico", tanto per fare sfoggio di conoscenza del greco (in reltà, del dizionario di greco). Filoponico vorrebbe significare appunto "fatto per amore della fatica", assolutamente privo di utilità pratica. Ho già accennato in passato alla mia famosa formula per trovare quanti numeri di k cifre restano inalterati se letti capovolti (8008; 61188119;...) e quante volte una data cifra ricorre tra i numeri capovolgibili di k cifre.
Bravo Jumpy !!

[Jumpy94]

Grazie per il complimento (almeno credo sia tale). Si...è vero mi piace trovare formule anche per fatti banali, mi ricordo che in seconda media un mio compagno mi fece un gioco con delle carte. Me ne mostrava alcune sulle quali c'era una tabella di numeri, ed io dovevo sceglierne uno e dire poi in quale tabella compariva. Alla fine lui indovinava quale numero avevo scelto. Rimasi affascinato ed un giorno non andai a scuola perché rimasi a casa a trovare il meccanismo. Una volta che lo capii, ritornai a scuola e lo spiegaii. Mi pare che trovai altri schemi che seguivano la regola trovata.I miei compagni mi presero per pazzo (...e ancora oggi ). Comunque vorrei sapere se è esatto ciò che ho scritto .

[Br1]

Ciao, Jumpy!

Non ho modo di seguirti in questo (e altri) topic, per
il momento, ma mi associo ai complimenti di Enrico
(che senz'altro vanno intesi così) e ti ringrazio per
averci regalato un pezzetto di storia della tua passione
per la matematica

$\left(\left[\frac{i}{2}\right]+k\right)\;$$k=\left\{\begin{array}{ll} 1 & {se \qquad i \qquad e' \qquad dispari} \\ 0 & se \qquad i \qquad \qquad e' \qquad pari\\ \end{array}\right.$.

Non entro nel merito della tua argomentazione e
non so se la tua risposta sia corretta, Jumpy, però
posso subito proporti un'altra forma, appena più
compatta, per la parte che ho citato:

$\frac{2i+1-(-1)^i}4 \;.$

Che ne dici?

Ciao!

[Gianfranco]

Per Panurgo, grazie per la correzione dell'ultimo schema, nel ricopiare il disegno ho dimenticato una riga di quadrati. Inoltre ho disegnato volutamente i rami "morti", anche se in effetti non esistono.

Grazie a Jumpy94 per il problema e complimenti per le considerazioni matematiche. Devo però ancora esaminare con calma la tua formula e quella di Bruno.

Il grande matematico G. Hardy scrisse:
"La vera matematica dei veri matematici, quella di Eulero, di Fermat, di Gauss, di Abel e di Riemann, è quasi totalmente "inutile". Non è possibile giudicare la vita di nessun vero matematico professionista sulla base dell'"utilità" del suo lavoro."

Tuttavia egli mette tra virgolette le parole "utile" e "inutile" e spiega meglio questi concetti.

Enrico (delfo52), mi piace la parola filoponico ma ritengo, sempre citando Hardy, che chi ama la matematica lo faccia per la sua bellezza più che per la fatica richiesta. Come si dice "fatto per amore della bellezza", filocallico?

Gianfranco

[delfo52]

filocallico o callofilico possono andare; dovremmo sentire il parere di zero-infinito....

[delfo52]

filocallico o callofilico possono andare; dovremmo sentire il parere di zero-infinito....

[Br1]

Grazie a Jumpy94 per il problema e complimenti per le considerazioni matematiche. Devo però ancora esaminare con calma la tua formula e quella di Bruno.

Quella mia aggiunta è in realtà una cosa di
poco conto, Gianfranco, ed è affatto indipendente
dalla validità della formula del nostro Jumpy
(che anch'io devo ancora trovare il tempo di
esaminare).

[Jumpy94]

Scusate se rispondo solo ora, ma è inevitabile per me.
Sono contento che vi siate soffermati sulla mia fuzione, e per questo ringrazio Br1 (così ho anche modo di imparare qualcosa di nuovo). La formula sono riuscito a trovarla (e credo debba andare abbastanza bene, seppure esteticamente "no ciambuotto" come si dice dalle mie parti ) grazie alla rappresentazione geometrica di Gianfranco (che ho apprezzato) così a rigor di intuito. Proprio per quest'ultimo motivo, ci dovrei perdere del tempo per dimostrarla (dato che a me ogni fantasticheria che mi viene in mente scrivo). Comunque credo che l'intuito sia estremamente fondamentale in matematica, per far si che questa non si ripieghi su se stessa ma, anzi, si espanda a macchia d'olio. E per questo motivo un matematico perde più tempo a dimostrare una legge che caso mai le è passata per la testa scendendo da un tram