Spot aritmetici

[Br1]

Qualcuno ci propone questi tre punti da
giustificare...

Nei primi due quesiti le parentesi quadre
indicano la parte intera dell'espressione
racchiusa.


1) $\large \; \[\frac{a\cdot n}{2}\]-a\cdot \[\frac n 2\] \,\le\, \[\frac a 2\]\;\; (a,n \in \mathbb{N})$

2) $\large \; \sum_{\small i=1}^{\small n} {\small \[\frac{i\cdot (i-1)}{2i-1}\]+\[\frac {3\cdot i}{2}\]}\, = \,$$\;\; (n \in \mathbb{N})$

3) Consideriamo i seguenti numeri:

$\,A = n^5-n^3+12n^2+12n\;\; (n \in \mathbb{Z})$.

Qual è il loro massimo comun divisore $\,\delta$?
Per quali $\,n\,$ il valore $\,\frac A \delta+1\,$ è divisibile
per 7?

[Sancho Panza]

Soluzione del problema 1

Se n è pari: $\left[ {\frac{{a*n}}{2}} \right] = a*\left[ {\frac{n}{2}} \right]$
quindi,
$\left[ {\frac{{a*n}}{2}} \right] - a*\left[ {\frac{n}{2}} \right] = 0 \le \left[ {\frac{a}{2}} \right]$

Se n è dispari ed a è pari: $\left[ {\frac{{a*n}}{2}} \right] = a*\left[ {\frac{n}{2}} \right] + \frac{a}{2}$
quindi,
$\left[ {\frac{{a*n}}{2}} \right] - a*\left[ {\frac{n}{2}} \right] = \frac{a}{2}$
ed essendo in questo caso a un numero pari: $\left[ {\frac{a}{2}} \right] = \frac{a}{2}$
quindi:
$\left[ {\frac{{a*n}}{2}} \right] - a*\left[ {\frac{n}{2}} \right] \le \left[ {\frac{a}{2}} \right]$

Se n è dispari ed a è dispari: $\left[ {\frac{{a*n}}{2}} \right] = \frac{{a*n}}{2} - \frac{1}{2}$
e
$a*\left[ {\frac{n}{2}} \right] = \frac{{a*n}}{2} - \frac{a}{2}$
quindi:
$\left[ {\frac{{a*n}}{2}} \right] - a*\left[ {\frac{n}{2}} \right] = \frac{a}{2} - \frac{1}{2} \le \left[ {\frac{a}{2}} \right]$

[Sancho Panza]

Soluzione del Problema 2

$\sum\limits_{i = 1}^n {\left[ {\frac{{i*\left( {i - 1} \right)}}{{2*i - 1}}} \right]} + \left[ {\frac{{3*i}}{2}} \right] = n^2$

infatti:
$\left[ {\frac{{i*\left( {i - 1} \right)}}{{2*i - 1}}} \right] = \left[ {\frac{i}{2} - \frac{i}{{4*i - 2}}} \right]$
quindi con i pari:
$\left[ {\frac{{3*i}}{2}} \right] = \frac{3}{2}*i$
e
$\left[ {\frac{i}{2} - \frac{i}{{4*i - 2}}} \right] = \frac{i}{2} - 1$
e la somma di questi due termini è uguale a (2*i - 1)

e con i dispari:
$\left[ {\frac{{3*i}}{2}} \right] = \frac{3}{2}*i - \frac{1}{2}$
e
$\left[ {\frac{i}{2} - \frac{i}{{4*i - 2}}} \right] = \frac{i}{2} - \frac{1}{2}$
e la somma di questi due termini è ancora uguale a (2*i - 1)

$\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {2*i - 1} \right)} = n^2$

[Sancho Panza]

Soluzione del problema 3

Il Massimo Comun Divisore è 24

Dimostrazione

per n=1 si ottiene A=24

A=n*(n+1)*(n+2)*(n²-3*n+6)
avendo come fattori 3 numeri interi consecutivi è sicuramente divisibile per 3

Se n è pari:
n*(n+2) è sicuramente divisibile per 8 essendo il prodotto di due numeri pari consecutivi

Se n è dispari:
A) Se n Mod 4 = 1 , allora (n - 3) Mod 4 = 2 e (n + 1) Mod 4 = 2
quindi
(n²-3*n+6) Mod 4 = (2*n + 2) Mod 4 =2*(n+1) Mod 4 = 4 Mod 4
dunque (n²-3*n+6) risulta multiplo di 4 e (n + 1) è un numero pari, il loro prodotto è dunque divisibile per 8

B) Se n Mod 4 = 3 , allora (n + 1) è multiplo di 4
mentre
(n²-3*n+6) è un numero pari
dunque (n²-3*n+6)*(n + 1) è divisibile per 8

Resta dunque verificato che il M.C.D. è 24=8*3

Non esiste alcun valore per cui (A/24 + 1) risulta divisibile per 7,
per dimostrarlo basta verificarlo per n che va da 1 a 7
visto che con k intero si ha che:
(n+7*k) Mod 7 = n

[Br1]

Bravo e simpatico: Sancho, sei !

Ciao